Номер 5, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$:

1) $y = xe^x$, на промежутке $[0; 3];$

2) $y = x \ln x$, на промежутке $[2; 3];$

3) $y = \sqrt{x} - x$, на промежутке $[0; 4];$

4) $y = \frac{1}{x} + x$, на промежутке $[0,5; 4].$

1) y = xe^x, на промежутке [0; 3];

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции $y = xe^x$, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$e^x(1 + x) = 0$.

Так как $e^x > 0$ для любого действительного $x$, то уравнение равносильно $1 + x = 0$, откуда $x = -1$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = -1$ промежутку $[0; 3]$.

Точка $x = -1$ не принадлежит данному промежутку. Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка $[0; 3]$:

При $x = 0$: $y(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \cdot e^3 = 3e^3$.

5. Сравнивая значения $y(0)=0$ и $y(3)=3e^3$, получаем, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее равно $3e^3$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = 3e^3$.

2) y = xlnx, на промежутке [2; 3];

1. Найдем производную функции $y = x \ln x$, используя правило дифференцирования произведения:

$y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

2. Найдем критические точки из уравнения $y' = 0$:

$\ln x + 1 = 0$

$\ln x = -1$

$x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка $x = 1/e$ промежутку $[2; 3]$.

Так как $e \approx 2,718$, то $1/e \approx 0,367$. Эта точка не принадлежит промежутку $[2; 3]$.

4. Так как на интервале $(2; 3)$ нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах промежутка. Вычислим значения функции в точках $x=2$ и $x=3$:

При $x = 2$: $y(2) = 2 \ln 2 = \ln(2^2) = \ln 4$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \ln 3 = \ln(3^3) = \ln 27$.

5. Сравним полученные значения. Так как $27 > 4$ и функция $f(t)=\ln t$ является возрастающей, то $\ln 27 > \ln 4$.

Следовательно, наименьшее значение функции равно $2 \ln 2$, а наибольшее - $3 \ln 3$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2 \ln 2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 3 \ln 3$.

3) y = \sqrt{x} - x, на промежутке [0; 4];

1. Найдем производную функции $y = \sqrt{x} - x$:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена при $x > 0$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{4}$.

Точка $x=0$ также является критической, так как в ней производная не определена. Эта точка является концом заданного отрезка.

3. Критическая точка $x = 1/4$ принадлежит промежутку $[0; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x = 1/4$ и на концах промежутка $x = 0$ и $x = 4$:

При $x = 0$: $y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.

При $x = 1/4$: $y(1/4) = \sqrt{1/4} - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4 = 0,25$.

При $x = 4$: $y(4) = \sqrt{4} - 4 = 2 - 4 = -2$.

5. Сравним полученные значения: $0$, $0,25$ и $-2$.

Наименьшее из этих значений равно $-2$, а наибольшее равно $1/4$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -2$, наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{4}$.

4) y = \frac{1}{x} + x, на промежутке [0,5; 4].

1. Найдем производную функции $y = \frac{1}{x} + x$:

$y' = (\frac{1}{x} + x)' = (x^{-1} + x)' = -x^{-2} + 1 = -\frac{1}{x^2} + 1$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$-\frac{1}{x^2} + 1 = 0$

$\frac{1}{x^2} = 1$

$x^2 = 1$

$x = 1$ или $x = -1$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат промежутку $[0,5; 4]$.

Точка $x = 1$ принадлежит данному промежутку. Точка $x = -1$ не принадлежит.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=1$ и на концах промежутка $x=0,5$ и $x=4$:

При $x = 0,5$: $y(0,5) = \frac{1}{0,5} + 0,5 = 2 + 0,5 = 2,5$.

При $x = 1$: $y(1) = \frac{1}{1} + 1 = 1 + 1 = 2$.

При $x = 4$: $y(4) = \frac{1}{4} + 4 = 0,25 + 4 = 4,25$.

5. Сравним полученные значения: $2,5$, $2$ и $4,25$.

Наименьшее из этих значений равно $2$, а наибольшее равно $4,25$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$, наибольшее значение $y_{наиб} = 4,25$.