Номер 10, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

10. 1) $(\sqrt{a+\sqrt{x}}+\sqrt{a-\sqrt{x}})^2-2a;$

2) $(\sqrt{y+\sqrt{x}}-\sqrt{y-\sqrt{x}})^2+2\sqrt{y^2-x}.$

1) $(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 - 2a$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В нашем случае $A = \sqrt{a+\sqrt{x}}$ и $B = \sqrt{a-\sqrt{x}}$.

$(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{a+\sqrt{x}})^2 + 2 \cdot \sqrt{a+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{a-\sqrt{x}} + (\sqrt{a-\sqrt{x}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{a+\sqrt{x}})^2 = a+\sqrt{x}$

$(\sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = a-\sqrt{x}$

$2 \cdot \sqrt{a+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{a-\sqrt{x}} = 2 \cdot \sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ для подкоренного выражения:

$(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x}) = a^2 - (\sqrt{x})^2 = a^2 - x$

Таким образом, $2 \cdot \sqrt{(a+\sqrt{x})(a-\sqrt{x})} = 2\sqrt{a^2 - x}$.

Теперь соберем все вместе:

$(\sqrt{a+\sqrt{x}} + \sqrt{a-\sqrt{x}})^2 = (a+\sqrt{x}) + 2\sqrt{a^2 - x} + (a-\sqrt{x})$

Приведем подобные слагаемые:

$a + a + \sqrt{x} - \sqrt{x} + 2\sqrt{a^2 - x} = 2a + 2\sqrt{a^2 - x}$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$(2a + 2\sqrt{a^2 - x}) - 2a = 2a - 2a + 2\sqrt{a^2 - x} = 2\sqrt{a^2 - x}$

Для существования выражения должны выполняться условия: $x \ge 0$, $a+\sqrt{x} \ge 0$, $a-\sqrt{x} \ge 0$, откуда $a \ge \sqrt{x}$, что влечет $a \ge 0$ и $a^2 \ge x$.

Ответ: $2\sqrt{a^2 - x}$.

2) $(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 + 2\sqrt{y^2-x}$

Для упрощения выражения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

В данном случае $A = \sqrt{y+\sqrt{x}}$ и $B = \sqrt{y-\sqrt{x}}$.

$(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{y+\sqrt{x}})^2 - 2 \cdot \sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}} + (\sqrt{y-\sqrt{x}})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$(\sqrt{y+\sqrt{x}})^2 = y+\sqrt{x}$

$(\sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = y-\sqrt{x}$

$2 \cdot \sqrt{y+\sqrt{x}} \cdot \sqrt{y-\sqrt{x}} = 2 \cdot \sqrt{(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x})}$

Применим формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$ к подкоренному выражению:

$(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x}) = y^2 - (\sqrt{x})^2 = y^2 - x$

Следовательно, $2 \cdot \sqrt{(y+\sqrt{x})(y-\sqrt{x})} = 2\sqrt{y^2 - x}$.

Теперь соберем все вместе:

$(\sqrt{y+\sqrt{x}} - \sqrt{y-\sqrt{x}})^2 = (y+\sqrt{x}) - 2\sqrt{y^2 - x} + (y-\sqrt{x})$

Приведем подобные слагаемые:

$y + y + \sqrt{x} - \sqrt{x} - 2\sqrt{y^2 - x} = 2y - 2\sqrt{y^2 - x}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$(2y - 2\sqrt{y^2 - x}) + 2\sqrt{y^2-x} = 2y - 2\sqrt{y^2 - x} + 2\sqrt{y^2-x} = 2y$

Для существования выражения должны выполняться условия: $x \ge 0$, $y+\sqrt{x} \ge 0$, $y-\sqrt{x} \ge 0$, откуда $y \ge \sqrt{x}$, что влечет $y \ge 0$ и $y^2 \ge x$.

Ответ: $2y$.