Номер 14, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

14. Найдите значение $a$, при котором функция $y = f(x)$ является непрерывной в области определения:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{при } x < 2 \\ ax - 6, & \text{при } x > 2 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 4 + x, & \text{при } x \le 1 \\ 2x^2 - a, & \text{при } x > 1 \end{cases}$

3) $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{2x}, & \text{при } x \ne 0 \\ a, & \text{при } x = 0 \end{cases}$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x^2}, & \text{при } x \ne 0 \\ a, & \text{при } x = 0 \end{cases}$

1) Функция $f(x)$ состоит из двух непрерывных на своих интервалах функций: $y = x^2 - 4$ при $x < 2$ и $y = ax - 6$ при $x > 2$. Область определения функции — $(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$. Чтобы функция была непрерывной во всей области определения, она должна быть непрерывной на каждом из интервалов. Так как обе части являются многочленами, они непрерывны. Однако, задача обычно подразумевает устранение разрыва в точке $x=2$. Для этого необходимо, чтобы предел функции в этой точке существовал, то есть левосторонний и правосторонний пределы должны быть равны.

Найдем левосторонний предел (при $x \to 2^-$):

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 4) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Найдем правосторонний предел (при $x \to 2^+$):

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (ax - 6) = a \cdot 2 - 6 = 2a - 6$.

Приравняем значения пределов, чтобы найти $a$:

$2a - 6 = 0$

$2a = 6$

$a = 3$.

При $a=3$ разрыв в точке $x=2$ является устранимым.

Ответ: $a = 3$.

2) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Она состоит из двух многочленов, непрерывных на своих интервалах. Чтобы функция была непрерывной везде, она должна быть непрерывна в точке "склейки" $x=1$.

Условие непрерывности в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Для точки $x=1$:

Значение функции в точке: $f(1) = 4 + 1 = 5$.

Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (4 + x) = 4 + 1 = 5$.

Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x^2 - a) = 2 \cdot 1^2 - a = 2 - a$.

Приравняем правосторонний предел значению функции в точке:

$2 - a = 5$

$a = 2 - 5 = -3$.

Ответ: $a = -3$.

3) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Чтобы она была непрерывной, нужно обеспечить ее непрерывность в точке $x=0$.

Условие непрерывности в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

По определению функции, $f(0) = a$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x}$.

При подстановке $x=0$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Для ее раскрытия можно использовать правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{0 - (-\sin x)}{2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2} = \frac{\sin 0}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Для непрерывности функции должно выполняться равенство $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, следовательно:

$a = 0$.

Ответ: $a = 0$.

4) Функция $f(x)$ определена на всей числовой оси. Чтобы она была непрерывной, нужно обеспечить ее непрерывность в точке $x=0$.

Условие непрерывности в точке $x=0$: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

По определению функции, $f(0) = a$.

Найдем предел функции при $x \to 0$:

$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$.

Это известный второй замечательный предел, который равен $\frac{1}{2}$. Можно также дважды применить правило Лопиталя, так как мы имеем неопределенность $\frac{0}{0}$:

$\lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(x^2)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$.

Снова получаем неопределенность $\frac{0}{0}$. Применим правило Лопиталя еще раз:

$\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(2x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$.

Для непрерывности функции должно выполняться равенство $f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$, следовательно:

$a = \frac{1}{2}$.

Ответ: $a = \frac{1}{2}$.