Номер 19, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

19. Найдите точки, в которых $f'(x) = 0$:

1) $f(x) = \sqrt{3} + 3x^2 - x^3$;

2) $f(x) = (x^2 - x) \cdot e^{2x}$;

3) $f(x) = \sin 2x + \cos 2x - 2\pi$;

4) $f(x) = \pi + x + \sin^2 2x$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{3} + 3x^2 - x^3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования степенной функции и константы:

$f'(x) = (\sqrt{3} + 3x^2 - x^3)' = (\sqrt{3})' + (3x^2)' - (x^3)' = 0 + 3 \cdot 2x - 3x^2 = 6x - 3x^2$.

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна:

$f'(x) = 0$

$6x - 3x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(2 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0$ или $2 - x = 0$

Отсюда находим решения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 2$

Ответ: $x=0$, $x=2$.

2) Дана функция $f(x) = (x^2 - x)e^{2x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$. Пусть $u(x) = x^2 - x$ и $v(x) = e^{2x}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x^2 - x)' = 2x - 1$

$v'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$ (по правилу дифференцирования сложной функции).

Теперь подставим найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = (2x - 1)e^{2x} + (x^2 - x)(2e^{2x})$

Вынесем общий множитель $e^{2x}$ за скобки и упростим выражение:

$f'(x) = e^{2x}(2x - 1 + 2(x^2 - x)) = e^{2x}(2x - 1 + 2x^2 - 2x) = e^{2x}(2x^2 - 1)$.

Приравняем производную к нулю:

$e^{2x}(2x^2 - 1) = 0$

Так как показательная функция $e^{2x}$ всегда строго положительна ($e^{2x} > 0$ для любого $x$), то уравнение сводится к:

$2x^2 - 1 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Дана функция $f(x) = \sin(2x) + \cos(2x) - 2\pi$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции для тригонометрических членов:

$f'(x) = (\sin(2x))' + (\cos(2x))' - (2\pi)'$

$f'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' - \sin(2x) \cdot (2x)' - 0 = 2\cos(2x) - 2\sin(2x)$.

Приравняем производную к нулю:

$2\cos(2x) - 2\sin(2x) = 0$

$\cos(2x) = \sin(2x)$

Разделим обе части уравнения на $\cos(2x)$. Это допустимо, так как если $\cos(2x) = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin(2x) = 0$, что невозможно одновременно, поскольку $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 1$

$\tan(2x) = 1$

Общее решение этого тригонометрического уравнения:

$2x = \arctan(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Разделим на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) Дана функция $f(x) = \pi + x + \sin^2(2x)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\pi)' + (x)' + (\sin^2(2x))'$.

Производная $(\sin^2(2x))'$ находится как производная сложной функции: $y = u^2$, где $u = \sin(2x)$.

$(\sin^2(2x))' = 2\sin(2x) \cdot (\sin(2x))' = 2\sin(2x) \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot 2 = 4\sin(2x)\cos(2x)$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $4\sin(2x)\cos(2x) = 2 \cdot (2\sin(2x)\cos(2x)) = 2\sin(4x)$.

Таким образом, производная равна:

$f'(x) = 0 + 1 + 2\sin(4x) = 1 + 2\sin(4x)$.

Приравняем производную к нулю:

$1 + 2\sin(4x) = 0$

$2\sin(4x) = -1$

$\sin(4x) = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения находятся по формулам:

$4x = \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$ и $4x = \pi - \arcsin(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем две серии решений:

1) $4x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$

2) $4x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \implies x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$ и $x = \frac{7\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.