Номер 26, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

26. Решите неравенство:

1) $x^{4x^2} < x, x > 0;$

2) $|x + 5|^{x^2 - 4x + 3} > 1;$

3) $\log_{2x - 3} x > 1;$

4) $\log_{x^2} (3x + 4) > 1.$

1) $x^{4x^2} < x, x > 0$

Это показательно-степенное неравенство. По условию $x > 0$. Представим правую часть как $x^1$. Неравенство примет вид $x^{4x^2} < x^1$. Решение зависит от значения основания $x$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Основание $x$ находится в интервале $(0, 1)$.

В этом случае показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x^2 > 1$

$x^2 > \frac{1}{4}$

$|x| > \frac{1}{2}$, что равносильно $x > \frac{1}{2}$ или $x < -\frac{1}{2}$.

Учитывая условие $0 < x < 1$, получаем решение для этого случая: $x \in (\frac{1}{2}, 1)$.

Случай 2: Основание $x$ больше 1.

В этом случае показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$4x^2 < 1$

$x^2 < \frac{1}{4}$

$|x| < \frac{1}{2}$, что равносильно $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$.

Учитывая условие $x > 1$, пересечение с полученным интервалом $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 3: Основание $x$ равно 1.

Подставив $x=1$ в исходное неравенство, получаем $1^{4 \cdot 1^2} < 1$, то есть $1 < 1$, что является ложным утверждением. Следовательно, $x=1$ не является решением.

Объединяя результаты всех случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 1)$.

2) $|x+5|^{x^2-4x+3} > 1$

Это показательно-степенное неравенство. Представим 1 как $|x+5|^0$. Неравенство примет вид $|x+5|^{x^2-4x+3} > |x+5|^0$.

Область определения: основание степени не может быть равно нулю, т.е. $|x+5| \neq 0$, откуда $x \neq -5$.

Рассмотрим два случая в зависимости от основания $|x+5|$.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $|x+5| > 1$.

Это равносильно совокупности $x+5 > 1$ или $x+5 < -1$, что дает $x > -4$ или $x < -6$. Таким образом, $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, \infty)$.

В этом случае знак неравенства для показателей сохраняется:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Корнями квадратного трехчлена являются $x=1$ и $x=3$. Так как парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Находим пересечение множеств $(-\infty, -6) \cup (-4, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$: $(-\infty, -6) \cup (-4, 1) \cup (3, \infty)$.

Случай 2: Основание находится в интервале $(0, 1)$, т.е. $0 < |x+5| < 1$.

Это равносильно $-1 < x+5 < 1$ и $x \neq -5$, что дает $-6 < x < -4$.

В этом случае знак неравенства для показателей меняется на противоположный:

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Это неравенство выполняется при $x \in (1, 3)$.

Пересечение множеств $(-6, -4)$ и $(1, 3)$ является пустым множеством. Решений в этом случае нет.

Случай 3: Основание $|x+5|$ равно 1.

Это происходит при $x=-4$ или $x=-6$. Неравенство принимает вид $1 > 1$, что ложно. Эти значения не являются решениями.

Объединяя результаты, получаем окончательное решение.

Ответ: $(-\infty, -6) \cup (-4, 1) \cup (3, \infty)$.

3) $\log_{2x-3} x > 1$

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

2. Основание логарифма должно быть положительно: $2x-3 > 0 \implies x > 1.5$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $2x-3 \neq 1 \implies x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1.5, 2) \cup (2, \infty)$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $1 = \log_{2x-3}(2x-3)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{2x-3} x > \log_{2x-3}(2x-3)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $2x-3 > 1 \implies x > 2$.

В этом случае логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства для аргументов сохраняется:

$x > 2x-3 \implies 3 > x \implies x < 3$.

Находим пересечение условий $x > 2$ и $x < 3$: $x \in (2, 3)$. Этот интервал удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале $(0, 1)$, т.е. $0 < 2x-3 < 1 \implies 1.5 < x < 2$.

В этом случае логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$x < 2x-3 \implies 3 < x \implies x > 3$.

Пересечение условий $1.5 < x < 2$ и $x > 3$ является пустым множеством.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(2, 3)$.

4) $\log_{x^2} (3x+4) > 1$

Логарифмическое неравенство с переменным основанием. Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $3x+4 > 0 \implies x > -4/3$.

2. Основание логарифма: $x^2 > 0 \implies x \neq 0$.

3. Основание логарифма: $x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

ОДЗ: $x \in (-4/3, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Представим 1 как $\log_{x^2}(x^2)$. Неравенство: $\log_{x^2} (3x+4) > \log_{x^2}(x^2)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, т.е. $x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Знак неравенства для аргументов сохраняется:

$3x+4 > x^2 \implies x^2 - 3x - 4 < 0$.

Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 4$. Решение неравенства: $x \in (-1, 4)$.

Находим пересечение $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ и $x \in (-1, 4)$. Получаем $x \in (1, 4)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание между 0 и 1, т.е. $0 < x^2 < 1 \implies x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$.

Знак неравенства для аргументов меняется на противоположный:

$3x+4 < x^2 \implies x^2 - 3x - 4 > 0$.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.

Пересечение множеств $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$ и $x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$ пусто.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(1, 4)$.