Номер 28, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28. 1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $ \frac{x - 3}{2} > \frac{(\sqrt{x} - 5)^2}{x - 6} $.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $ \frac{6 - x}{\sqrt{x^2 - 8x + 7}} > 0 $.

3) Решите неравенство $ (x^2 + 2x - 8) \cdot \sqrt{x^2 + x - 2} < 0 $.

4) Решите неравенство $ 5^{0.5\log_{\frac{2}{5}} x} > 5 \cdot x^{0.25\log_5 x} $.

1) Найдите наименьшее целое решение неравенства $\frac{x-3}{2} > \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия квадратного корня $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю, поэтому $x-6 \ne 0$, то есть $x \ne 6$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [0; 6) \cup (6; +\infty)$.

Перенесем все члены неравенства в одну сторону:

$\frac{x-3}{2} - \frac{(\sqrt{x}-5)^2}{x-6} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-3)(x-6) - 2(\sqrt{x}-5)^2}{2(x-6)} > 0$

Раскроем скобки в числителе:

$(x-3)(x-6) = x^2 - 6x - 3x + 18 = x^2 - 9x + 18$.

$2(\sqrt{x}-5)^2 = 2(x - 10\sqrt{x} + 25) = 2x - 20\sqrt{x} + 50$.

Числитель примет вид:

$(x^2 - 9x + 18) - (2x - 20\sqrt{x} + 50) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$.

Неравенство стало таким:

$\frac{x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}}{2(x-6)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Рассмотрим знаки числителя и знаменателя на интервалах ОДЗ.

Рассмотрим интервал $[0; 6)$. На этом интервале знаменатель $2(x-6)$ отрицателен. Чтобы вся дробь была положительной, числитель $N(x) = x^2 - 11x - 32 + 20\sqrt{x}$ также должен быть отрицательным.

Проверим знак числителя на этом интервале. Возьмем любую точку из интервала, например, $x=0$:

$N(0) = 0^2 - 11(0) - 32 + 20\sqrt{0} = -32 < 0$.

Так как на интервале $[0; 6)$ числитель и знаменатель отрицательны, их частное положительно. Следовательно, весь интервал $[0; 6)$ является решением неравенства.

Нас просят найти наименьшее целое решение. Целые числа, входящие в промежуток $[0; 6)$, это 0, 1, 2, 3, 4, 5. Наименьшее из них — 0.

Проверим подстановкой $x=0$ в исходное неравенство:

$\frac{0-3}{2} > \frac{(\sqrt{0}-5)^2}{0-6}$

$-\frac{3}{2} > \frac{(-5)^2}{-6}$

$-1.5 > \frac{25}{-6}$

$-1.5 > -4.166...$

Неравенство верное. Значит, 0 является решением.

Ответ: 0.

2) Найдите наибольшее целое решение неравенства $\frac{6-x}{\sqrt{x^2-8x+7}} > 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$x^2-8x+7 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2-8x+7=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=7$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

На всей области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x^2-8x+7}$ всегда положителен. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя. Неравенство равносильно следующему:

$6-x > 0$

$x < 6$

Теперь найдем пересечение полученного решения $x < 6$ с ОДЗ: $x \in (-\infty; 1) \cup (7; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty; 1)$.

Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа на интервале $(-\infty; 1)$ — это $...-3, -2, -1, 0$. Наибольшее из них — 0.

Ответ: 0.

3) Решите неравенство $(x^2+2x-8) \cdot \sqrt{x^2+x-2} < 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2+x-2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, корни $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Произведение двух множителей отрицательно. Множитель $\sqrt{x^2+x-2}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$). Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Первый множитель должен быть отрицательным: $x^2+2x-8 < 0$.

2. Второй множитель не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^2+x-2} \ne 0$, что равносильно $x^2+x-2 \ne 0$.

Решим первое неравенство: $x^2+2x-8 < 0$.

Корни уравнения $x^2+2x-8=0$: $x_1=-4$ и $x_2=2$.

Это парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $x \in (-4; 2)$.

Второе условие $x^2+x-2 \ne 0$ означает, что $x \ne -2$ и $x \ne 1$.

Теперь объединим все условия: ОДЗ, решение первого неравенства и второе условие.

Нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$ и $x \in (-4; 2)$, исключив точки -2 и 1.

Пересечение $(-\infty; -2] \cup [1; +\infty)$ с $(-4; 2)$ дает $(-4; -2] \cup [1; 2)$.

Так как точки -2 и 1 должны быть исключены, итоговое решение: $x \in (-4; -2) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (-4; -2) \cup (1; 2)$.

4) Решите неравенство $5^{0.5\log_5^2 x} > 5 \cdot x^{0.25\log_5 x}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства не изменится:

$\log_5(5^{0.5\log_5^2 x}) > \log_5(5 \cdot x^{0.25\log_5 x})$

Используем свойства логарифмов $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$ и $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

Левая часть: $0.5\log_5^2 x \cdot \log_5 5 = 0.5\log_5^2 x$.

Правая часть: $\log_5 5 + \log_5(x^{0.25\log_5 x}) = 1 + (0.25\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = 1 + 0.25\log_5^2 x$.

Получаем неравенство:

$0.5\log_5^2 x > 1 + 0.25\log_5^2 x$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$.

$0.5t^2 > 1 + 0.25t^2$

$0.5t^2 - 0.25t^2 > 1$

$0.25t^2 > 1$

$t^2 > 4$

Решением этого неравенства является $t < -2$ или $t > 2$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_5 x < -2 \implies x < 5^{-2} \implies x < \frac{1}{25}$.

2) $\log_5 x > 2 \implies x > 5^2 \implies x > 25$.

Учтем ОДЗ ($x>0$). Объединяя решения с ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{25}) \cup (25; +\infty)$.