Номер 35, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

35. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0 = 0$:

1) $y = x - 2\sqrt{x + 1};$

2) $y = \sqrt{3x + 1};$

3) $y = xe^{2x};$

4) $y = x\ln(x + e).$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.Для всех заданий $x_0=0$, поэтому формула принимает вид: $y = f(0) + f'(0)x$.

1) $y = x - 2\sqrt{x+1}$

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0 - 2\sqrt{0+1} = 0 - 2 \cdot 1 = -2$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (x - 2\sqrt{x+1})' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot (x+1)' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x+1}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 1 - \frac{1}{\sqrt{0+1}} = 1 - 1 = 0$.

Подставим найденные значения $f(0)=-2$ и $f'(0)=0$ в уравнение касательной:

$y = -2 + 0 \cdot x$.

$y = -2$.

Ответ: $y = -2$.

2) $y = \sqrt{3x+1}$

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = \sqrt{3 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{3x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot (3x+1)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 0 + 1}} = \frac{3}{2\sqrt{1}} = \frac{3}{2}$.

Подставим найденные значения $f(0)=1$ и $f'(0)=\frac{3}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{3}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + 1$.

3) $y = xe^{2x}$

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0 \cdot e^{2 \cdot 0} = 0 \cdot e^0 = 0$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = (x \cdot e^{2x})' = (x)' \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})' = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot e^{2x} \cdot 2 = e^{2x}(1+2x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = e^{2 \cdot 0}(1+2 \cdot 0) = e^0 \cdot 1 = 1$.

Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot x$.

$y = x$.

Ответ: $y = x$.

4) $y = x\ln(x+e)$

Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0 \cdot \ln(0+e) = 0 \cdot \ln(e) = 0 \cdot 1 = 0$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$:

$f'(x) = (x \cdot \ln(x+e))' = (x)'\ln(x+e) + x(\ln(x+e))' = 1 \cdot \ln(x+e) + x \cdot \frac{1}{x+e} = \ln(x+e) + \frac{x}{x+e}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = \ln(0+e) + \frac{0}{0+e} = \ln(e) + 0 = 1$.

Подставим найденные значения $f(0)=0$ и $f'(0)=1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 1 \cdot x$.

$y = x$.

Ответ: $y = x$.