Номер 36, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

36. Найдите критические точки функции:

1) $f(x) = x - 2\sin x;$

2) $f(x) = x + \cos 2x;$

3) $f(x) = (x + 2)e^{1-x};$

4) $f(x) = \cos x \cdot e^{2x}.$

Критическими точками функции называются внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

1) $f(x) = x - 2\sin{x}$

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x - 2\sin{x})' = 1 - 2\cos{x}$.

Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$1 - 2\cos{x} = 0$

$2\cos{x} = 1$

$\cos{x} = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения являются точки:

$x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки функции.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $f(x) = x + \cos{2x}$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции:

$f'(x) = (x + \cos{2x})' = 1 - \sin(2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\sin{2x}$.

Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$1 - 2\sin{2x} = 0$

$2\sin{2x} = 1$

$\sin{2x} = \frac{1}{2}$

Решаем тригонометрическое уравнение:

$2x = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки функции.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $f(x) = (x + 2)e^{1-x}$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+2)e^{1-x})' = (x+2)'e^{1-x} + (x+2)(e^{1-x})'$

$f'(x) = 1 \cdot e^{1-x} + (x+2)e^{1-x}(-1) = e^{1-x} - (x+2)e^{1-x}$

$f'(x) = e^{1-x}(1 - (x+2)) = e^{1-x}(1 - x - 2) = e^{1-x}(-x-1) = -(x+1)e^{1-x}$.

Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$-(x+1)e^{1-x} = 0$.

Поскольку $e^{1-x} > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если $-(x+1) = 0$.

$x+1 = 0$

$x = -1$.

Это и есть единственная критическая точка.

Ответ: $x = -1$.

4) $f(x) = \cos{x} \cdot e^{2x}$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Находим производную функции, используя правило производной произведения:

$f'(x) = (\cos{x} \cdot e^{2x})' = (\cos{x})'e^{2x} + \cos{x}(e^{2x})' = -\sin{x} \cdot e^{2x} + \cos{x} \cdot e^{2x} \cdot 2$

$f'(x) = e^{2x}(2\cos{x} - \sin{x})$.

Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю:

$e^{2x}(2\cos{x} - \sin{x}) = 0$.

Поскольку $e^{2x} > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если $2\cos{x} - \sin{x} = 0$.

$2\cos{x} = \sin{x}$.

Разделим обе части уравнения на $\cos{x}$. Это возможно, так как если $\cos{x}=0$, то $\sin{x}=\pm 1$, и равенство $2 \cdot 0 = \pm 1$ неверно. Следовательно, $\cos{x} \neq 0$.

$\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = 2$

$\tan{x} = 2$

$x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Это и есть критические точки функции.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.