Номер 34, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

34. Докажите, что функция:

1) $f(x) = x + \frac{4}{x}$ возрастает при $x > 2$;

2) $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 2$.

1) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x + \frac{4}{x}$ возрастает при $x > 2$, найдем ее производную и определим ее знак на заданном интервале. Функция является возрастающей на некотором интервале, если ее производная на этом интервале положительна ($f'(x) > 0$).

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная положительна:

$\frac{x^2 - 4}{x^2} > 0$.

Так как знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, знак дроби совпадает со знаком числителя. Следовательно, нам нужно решить неравенство:

$x^2 - 4 > 0$.

Разложим на множители: $(x - 2)(x + 2) > 0$.

Решением этого неравенства методом интервалов являются промежутки $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.

В условии задачи указан интервал $x > 2$. Этот интервал полностью входит в найденное множество $(2; +\infty)$, на котором производная $f'(x)$ положительна. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает при $x > 2$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что функция $f(x) = x^2 + \frac{16}{x}$ убывает при $x < 0$ и при $0 < x < 2$, найдем ее производную и определим ее знак на заданных интервалах. Функция является убывающей на некотором интервале, если ее производная на этом интервале отрицательна ($f'(x) < 0$).

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + \frac{16}{x})' = (x^2 + 16x^{-1})' = 2x - 16x^{-2} = 2x - \frac{16}{x^2}$.

Приведем производную к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2x^3 - 16}{x^2}$.

Теперь определим, при каких значениях $x$ производная отрицательна:

$\frac{2x^3 - 16}{x^2} < 0$.

Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$, поэтому знак дроби определяется знаком числителя. Решим неравенство:

$2x^3 - 16 < 0$.

$2x^3 < 16$.

$x^3 < 8$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем:

$x < 2$.

Учитывая область определения функции ($x \neq 0$), мы видим, что производная $f'(x)$ отрицательна при $x < 2$ и $x \neq 0$. Это соответствует двум интервалам, указанным в условии: $x < 0$ (то есть $(-\infty; 0)$) и $0 < x < 2$ (то есть $(0; 2)$).

Таким образом, на интервалах $x < 0$ и $0 < x < 2$ функция $f(x)$ убывает.

Ответ: Что и требовалось доказать.