Номер 33, страница 223 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

33. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = x^2 + 10x - 10\sqrt{3}$;

2) $y = \lg(x^2 - 4x)$;

3) $y = x^3 - 6x^2 + 9$;

4) $y = xe^x$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y = x^2 + 10x - 10\sqrt{3}$ необходимо найти ее производную и определить знаки производной на области определения.

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен (квадратичная функция).

Найдем производную функции: $y' = (x^2 + 10x - 10\sqrt{3})' = 2x + 10$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $y' = 0 \implies 2x + 10 = 0 \implies 2x = -10 \implies x = -5$.

Критическая точка $x = -5$ разбивает числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -5)$ и $(-5; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.

На промежутке $(-\infty; -5)$, например при $x = -6$, производная $y'(-6) = 2(-6) + 10 = -2 < 0$, следовательно, функция убывает.

На промежутке $(-5; +\infty)$, например при $x = 0$, производная $y'(0) = 2(0) + 10 = 10 > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; -5]$ и возрастает на промежутке $[-5; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -5]$.

2) Рассмотрим функцию $y = \lg(x^2 - 4x)$.

Сначала найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0$. Решая неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$. Итак, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции и то, что $(\lg u)' = \frac{u'}{u \ln 10}$: $y' = (\lg(x^2 - 4x))' = \frac{(x^2 - 4x)'}{(x^2 - 4x)\ln 10} = \frac{2x - 4}{(x^2 - 4x)\ln 10}$.

Найдем критические точки, приравняв числитель производной к нулю: $2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Однако точка $x = 2$ не входит в область определения функции, поэтому у функции нет критических точек внутри области определения.

Исследуем знак производной на интервалах, составляющих область определения: $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$.

Знаменатель производной $(x^2 - 4x)\ln 10$ положителен на всей области определения функции. Следовательно, знак производной совпадает со знаком ее числителя $2x - 4$.

На промежутке $(-\infty; 0)$, числитель $2x - 4$ отрицателен (например, при $x = -1$, $2(-1) - 4 = -6 < 0$), значит $y' < 0$ и функция убывает.

На промежутке $(4; +\infty)$, числитель $2x - 4$ положителен (например, при $x = 5$, $2(5) - 4 = 6 > 0$), значит $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(4; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

3) Рассмотрим функцию $y = x^3 - 6x^2 + 9$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Найдем производную: $y' = (x^3 - 6x^2 + 9)' = 3x^2 - 12x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0 \implies 3x^2 - 12x = 0 \implies 3x(x - 4) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. График производной $y' = 3x^2 - 12x$ — это парабола с ветвями вверх.

На промежутке $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, $y'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 > 0$, функция возрастает.

На промежутке $(0; 4)$, например при $x = 1$, $y'(1) = 3(1)^2 - 12(1) = 3 - 12 = -9 < 0$, функция убывает.

На промежутке $(4; +\infty)$, например при $x = 5$, $y'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 > 0$, функция возрастает.

Включая концы промежутков (точки экстремума), получаем окончательные интервалы.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[4; +\infty)$, убывает на промежутке $[0; 4]$.

4) Рассмотрим функцию $y = xe^x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)$.

Найдем критические точки: $y' = 0 \implies e^x(1 + x) = 0$. Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то равенство возможно только если $1 + x = 0$, откуда $x = -1$.

Критическая точка $x = -1$ разбивает числовую ось на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Определим знак производной. Множитель $e^x$ всегда положителен, поэтому знак $y'$ совпадает со знаком множителя $(1 + x)$.

На промежутке $(-\infty; -1)$, выражение $(1+x)$ отрицательно, следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

На промежутке $(-1; +\infty)$, выражение $(1+x)$ положительно, следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.