Номер 21, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21. Найдите неопределенный интеграл:

1) $\int(2x - 1)^4 dx$;

2) $\int(5 - 2x)^{-3} dx$;

3) $\int\sqrt{\sin x} \cos x dx$;

4) $\int(x + e^{2x}) dx$;

5) $\int\sin(2 - 3x) dx$;

6) $\int\cos^2(x - 3) dx$;

7) $\int \frac{3}{\cos^2 3x} dx$;

8) $\int \frac{2x}{3 + x^2} dx$.

1) Для нахождения интеграла $\int (2x-1)^4 dx$ применяется метод замены переменной (подстановки). Введем новую переменную $t = 2x - 1$. Найдем ее дифференциал: $dt = (2x - 1)' dx = 2 dx$. Отсюда выразим $dx = \frac{dt}{2}$. Сделаем подстановку в исходный интеграл: $\int (2x-1)^4 dx = \int t^4 \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^4 dt$. Теперь воспользуемся табличным интегралом для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n=4$: $\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^5}{5} + C = \frac{t^5}{10} + C$. Последний шаг — обратная замена переменной $t$ на $2x-1$. Ответ: $\frac{(2x-1)^5}{10} + C$.

2) Интеграл $\int (5-2x)^{-3} dx$ также решается методом замены переменной. Пусть $t = 5 - 2x$. Тогда $dt = (5-2x)' dx = -2 dx$, и, следовательно, $dx = -\frac{dt}{2}$. Подставляем в интеграл: $\int t^{-3} (-\frac{dt}{2}) = -\frac{1}{2} \int t^{-3} dt$. Применяем формулу для степенной функции: $-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-3+1}}{-3+1} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{t^{-2}}{4} + C$. Выполняем обратную замену $t = 5 - 2x$. Ответ: $\frac{(5-2x)^{-2}}{4} + C$ или $\frac{1}{4(5-2x)^2} + C$.

3) Для интеграла $\int \sqrt{\sin x} \cos x dx$ используем метод подстановки. Заметим, что производная функции $\sin x$ равна $\cos x$, который присутствует в подынтегральном выражении. Пусть $t = \sin x$. Тогда $dt = (\sin x)' dx = \cos x dx$. Делаем замену: $\int \sqrt{t} dt = \int t^{1/2} dt$. Интегрируем как степенную функцию: $\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C$. Возвращаемся к переменной $x$. Ответ: $\frac{2}{3}(\sin x)^{3/2} + C$ или $\frac{2}{3} \sin x \sqrt{\sin x} + C$.

4) Интеграл $\int (x + e^{2x})dx$ является суммой двух интегралов: $\int x dx + \int e^{2x} dx$. Первый интеграл — табличный: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_1$. Для второго интеграла $\int e^{2x} dx$ сделаем замену $t = 2x$, тогда $dt = 2 dx$ и $dx = \frac{dt}{2}$. Получаем $\int e^t \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2}e^t + C_2 = \frac{1}{2}e^{2x} + C_2$. Объединяя результаты и константы ($C=C_1+C_2$), получаем окончательное решение. Ответ: $\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}e^{2x} + C$.

5) Интеграл $\int \sin(2-3x) dx$ решается заменой переменной. Пусть $t = 2 - 3x$. Тогда $dt = -3 dx$, откуда $dx = -\frac{dt}{3}$. Подставляем в интеграл: $\int \sin(t) (-\frac{dt}{3}) = -\frac{1}{3} \int \sin(t) dt$. Используем табличный интеграл $\int \sin(t) dt = -\cos(t) + C$. Получаем: $-\frac{1}{3}(-\cos(t)) + C = \frac{1}{3}\cos(t) + C$. Выполняем обратную замену $t = 2 - 3x$. Ответ: $\frac{1}{3}\cos(2-3x) + C$.

6) Для нахождения интеграла $\int \cos^2(x-3) dx$ используется тригонометрическая формула понижения степени: $\cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$. В нашем случае $\alpha = x-3$. Таким образом, $\cos^2(x-3) = \frac{1+\cos(2(x-3))}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x-6)$. Интеграл принимает вид: $\int (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x-6))dx = \int \frac{1}{2}dx + \frac{1}{2}\int\cos(2x-6)dx$. Первый интеграл равен $\frac{1}{2}x$. Второй интеграл $\int\cos(2x-6)dx$ решается заменой $t=2x-6$, $dt=2dx$: $\int\cos(t)\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\sin(t) = \frac{1}{2}\sin(2x-6)$. Собираем все части вместе: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x-6) + C$. Ответ: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x-6) + C$.

7) Для интеграла $\int \frac{3}{\cos^2 3x} dx$ вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся заменой переменной: $3\int \frac{1}{\cos^2 3x} dx$. Пусть $t = 3x$, тогда $dt = 3 dx$, и $dx = \frac{dt}{3}$. Подставляем: $3\int \frac{1}{\cos^2 t} \frac{dt}{3} = \int \frac{1}{\cos^2 t} dt$. Это табличный интеграл, который равен $\tan(t)+C$. Выполняем обратную замену $t = 3x$. Ответ: $\tan(3x) + C$.

8) Интеграл $\int \frac{2x}{3+x^2} dx$ решается методом подстановки. Заметим, что числитель $2x$ является производной выражения $x^2$ в знаменателе. Это указывает на удобную замену. Пусть $t = 3+x^2$. Тогда дифференциал $dt = (3+x^2)' dx = 2x dx$. Все подынтегральное выражение сворачивается в $\int \frac{dt}{t}$. Это табличный интеграл, равный натуральному логарифму: $\int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C$. Делаем обратную замену $t=3+x^2$. Поскольку выражение $3+x^2$ всегда положительно для любого действительного $x$, знак модуля можно опустить. Ответ: $\ln(3+x^2) + C$.