Номер 25, страница 222 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

25. Решите уравнение:

1) $(x + 1)^{x^2 - x} = (x + 1)^2$;

2) $(x - 1)^{x^2 + x} = (x - 1)^6$;

3) $|x - 3|^{3 - x} = |3 - x|^2$;

4) $\log_{x+2}(3x^2 - 12) = 2$;

5) $\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_{5-x^2}2$;

6) $\log_{\frac{x-3}{x+1}}2 = 1$.

1) $(x + 1)^{x^2 - x} = (x + 1)^2$

Данное показательное уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ решается рассмотрением нескольких случаев.

1. Основание степени равно 1.

$x + 1 = 1 \implies x = 0$.

Проверка: $(0+1)^{0^2-0} = (0+1)^2 \implies 1^0 = 1^2 \implies 1=1$. Корень $x=0$ подходит.

2. Основание степени равно -1, при этом показатели степени являются целыми числами одинаковой четности.

$x + 1 = -1 \implies x = -2$.

Проверим показатели степеней при $x=-2$:

Первый показатель: $x^2 - x = (-2)^2 - (-2) = 4 + 2 = 6$.

Второй показатель: $2$.

Оба показателя (6 и 2) — четные целые числа.

Проверка: $(-1)^6 = (-1)^2 \implies 1=1$. Корень $x=-2$ подходит.

3. Основание степени равно 0, при этом показатели степени — положительные числа.

$x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Проверим показатели степеней при $x=-1$:

Первый показатель: $x^2 - x = (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Второй показатель: $2$.

Оба показателя положительны.

Проверка: $0^2 = 0^2 \implies 0=0$. Корень $x=-1$ подходит.

4. Показатели степеней равны, а основание не равно 0, 1 или -1.

$x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Корень $x_2=-1$ уже был рассмотрен в пункте 3.

Для корня $x_1=2$ основание $x+1 = 2+1 = 3$. Так как основание не равно 0, 1, -1, этот корень является решением.

Проверка: $(2+1)^{2^2-2} = (2+1)^2 \implies 3^2 = 3^2 \implies 9=9$. Корень $x=2$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{-2; -1; 0; 2\}$

2) $(x - 1)^{x^2 + x} = (x - 1)^6$

Решаем аналогично предыдущему уравнению.

1. Основание степени равно 1.

$x - 1 = 1 \implies x = 2$.

Проверка: $1^{2^2+2} = 1^6 \implies 1^6 = 1^6 \implies 1=1$. Корень $x=2$ подходит.

2. Основание степени равно -1, при этом показатели степени являются целыми числами одинаковой четности.

$x - 1 = -1 \implies x = 0$.

Проверим показатели степеней при $x=0$:

Первый показатель: $x^2 + x = 0^2 + 0 = 0$.

Второй показатель: $6$.

Оба показателя (0 и 6) — четные целые числа.

Проверка: $(-1)^0 = (-1)^6 \implies 1=1$. Корень $x=0$ подходит.

3. Основание степени равно 0, при этом показатели степени — положительные числа.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Проверим показатели степеней при $x=1$:

Первый показатель: $x^2 + x = 1^2 + 1 = 2$.

Второй показатель: $6$.

Оба показателя положительны.

Проверка: $0^2 = 0^6 \implies 0=0$. Корень $x=1$ подходит.

4. Показатели степеней равны, а основание не равно 0, 1 или -1.

$x^2 + x = 6 \implies x^2 + x - 6 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Корень $x_1=2$ уже был рассмотрен в пункте 1.

Для корня $x_2=-3$ основание $x-1 = -3-1 = -4$.

Проверка: $(-4)^{(-3)^2+(-3)} = (-4)^6 \implies (-4)^6 = (-4)^6$. Равенство верное. Корень $x=-3$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{-3; 0; 1; 2\}$

3) $|x - 3|^{3x - x^2} = |3 - x|^2$

Поскольку $|x - 3| = |3 - x|$, мы можем переписать уравнение, обозначив $a = |x-3|$.

$a^{3x - x^2} = a^2$.

Так как основание $a = |x-3| \ge 0$, рассмотрим следующие случаи:

1. Основание $a=0$.

$|x-3| = 0 \implies x=3$.

При $x=3$ левая часть уравнения принимает вид $|3-3|^{3(3)-3^2} = 0^0$. Выражение $0^0$ не определено, поэтому $x=3$ не является корнем.

2. Основание $a=1$.

$|x-3| = 1$.

Это дает два уравнения: $x-3 = 1$ или $x-3 = -1$.

$x = 4$ или $x = 2$.

Если основание равно 1, то равенство $1^A = 1^B$ всегда верно, поэтому оба значения являются корнями.

3. Основание $a>0$ и $a \neq 1$, тогда показатели степеней должны быть равны.

$3x - x^2 = 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Корень $x_2=2$ уже был найден в пункте 2.

Проверим корень $x_1=1$: основание $|1-3|=2$. Оно не равно 0 или 1. Равенство показателей делает уравнение верным: $2^{3(1)-1^2} = 2^2 \implies 2^2=2^2$. Корень $x=1$ подходит.

Объединяя все найденные решения, получаем:

Ответ: $\{1; 2; 4\}$

4) $\log_{x+2}(3x^2 - 12) = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $3x^2 - 12 > 0 \implies x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$.

Пересекая все условия, получаем ОДЗ: $x \in (2, \infty)$.

По определению логарифма $\log_b a = c \iff a = b^c$:

$3x^2 - 12 = (x+2)^2$

$3x^2 - 12 = x^2 + 4x + 4$

$2x^2 - 4x - 16 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 4$ принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, это корень.

$x_2 = -2$ не принадлежит интервалу $(2, \infty)$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $\{4\}$

5) $\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) = 1 + \log_{5-x^2}2$

Найдем ОДЗ:

1. Основание: $5-x^2 > 0 \implies x^2 < 5 \implies -\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$.

2. Основание: $5-x^2 \neq 1 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Аргумент: $2x^2 - 8x - 2 > 0 \implies x^2 - 4x - 1 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x - 1 = 0$ равны $x = 2 \pm \sqrt{5}$. Значит, $x \in (-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$.

Объединяем условия: $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$, $x \neq \pm 2$, и $x \in (-\infty, 2-\sqrt{5}) \cup (2+\sqrt{5}, \infty)$.

Так как $2+\sqrt{5} > \sqrt{5}$, правый интервал не подходит.

ОДЗ: $x \in (-\sqrt{5}, 2-\sqrt{5})$ и $x \neq -2$. Итоговое ОДЗ: $x \in (-\sqrt{5}, -2) \cup (-2, 2-\sqrt{5})$.

Теперь решаем уравнение:

$\log_{5-x^2}(2x^2 - 8x - 2) - \log_{5-x^2}2 = 1$

$\log_{5-x^2}\left(\frac{2x^2 - 8x - 2}{2}\right) = 1$

$\log_{5-x^2}(x^2 - 4x - 1) = 1$

По определению логарифма:

$x^2 - 4x - 1 = 5-x^2$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверяем корни по ОДЗ:

$x_1 = 3$ не входит в ОДЗ.

$x_2 = -1$. Так как $-\sqrt{5} \approx -2.236$ и $2-\sqrt{5} \approx -0.236$, то $-1$ принадлежит интервалу $(-2, 2-\sqrt{5})$. Этот корень подходит.

Ответ: $\{-1\}$

6) $\log_{\frac{x-3}{x+1}}2 = 1$

Найдем ОДЗ. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.

1. $\frac{x-3}{x+1} > 0$. Методом интервалов получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

2. $\frac{x-3}{x+1} \neq 1 \implies x-3 \neq x+1 \implies -3 \neq 1$. Это верно для любого $x$, поэтому дополнительных ограничений нет.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

По определению логарифма, основание в степени 1 равно аргументу:

$\frac{x-3}{x+1} = 2$

$x-3 = 2(x+1)$

$x-3 = 2x+2$

$-x = 5 \implies x = -5$.

Проверяем корень по ОДЗ: $-5 \in (-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $\{-5\}$