Номер 20, страница 221 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

20. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную функцию, график которой проходит через начало координат:

1) $f(x) = 2x - 3;$

2) $f(x) = -3x^2 + 1;$

3) $f(x) = 5 - 3\sin x;$

4) $f(x) = 2\cos x - 3x^2.$

1) f(x) = 2x - 3;

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$. Общий вид первообразной: $F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = x^2 - 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

По условию, график первообразной проходит через начало координат, то есть через точку $(0, 0)$. Это означает, что $F(0) = 0$.

Подставим $x = 0$ в выражение для $F(x)$:

$F(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + C = 0$

$C = 0$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^2 - 3x$.

Ответ: $F(x) = x^2 - 3x$.

2) f(x) = -3x² + 1;

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -3x^2 + 1$:

$F(x) = \int (-3x^2 + 1) dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = -x^3 + x + C$.

Используем условие, что график проходит через начало координат: $F(0) = 0$.

Подставим $x = 0$ в $F(x)$:

$F(0) = -0^3 + 0 + C = 0$

$C = 0$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -x^3 + x$.

Ответ: $F(x) = -x^3 + x$.

3) f(x) = 5 - 3sinx;

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5 - 3\sin x$:

$F(x) = \int (5 - 3\sin x) dx = 5x - 3(-\cos x) + C = 5x + 3\cos x + C$.

Используем условие $F(0) = 0$. Подставим $x = 0$ в $F(x)$:

$F(0) = 5 \cdot 0 + 3\cos(0) + C = 0$

$0 + 3 \cdot 1 + C = 0$

$3 + C = 0$

$C = -3$

Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = 5x + 3\cos x - 3$.

Ответ: $F(x) = 5x + 3\cos x - 3$.

4) f(x) = 2cosx - 3x²;

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2\cos x - 3x^2$:

$F(x) = \int (2\cos x - 3x^2) dx = 2\sin x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2\sin x - x^3 + C$.

Используем условие $F(0) = 0$. Подставим $x = 0$ в $F(x)$:

$F(0) = 2\sin(0) - 0^3 + C = 0$

$2 \cdot 0 - 0 + C = 0$

$C = 0$

Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = 2\sin x - x^3$.

Ответ: $F(x) = 2\sin x - x^3$.