Номер 13, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

13. Найдите предел функции:

1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x};$

2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\text{tg} 2x};$

3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2};$

4) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x}.$

5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)};$

6) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - 2x)}{\text{tg} 2x};$

7) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1 + 4x^2)};$

8) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1 + 2x)}.$

1) Для нахождения предела $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x}$ воспользуемся первым замечательным пределом, который гласит: $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Сделаем замену переменной. Пусть $u = 3x$. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), переменная $u$ также стремится к нулю ($u \to 0$).

Подставив новую переменную, получаем предел, который в точности соответствует первому замечательному пределу:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{3x} = \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x}$. При подстановке $x=0$ в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Для раскрытия этой неопределенности используем метод замены на эквивалентные бесконечно малые функции при $x \to 0$.

Известны следующие эквивалентности: $\sin u \sim u$ и $\tan u \sim u$ при $u \to 0$.

Применяя их к нашему случаю, получаем: $\sin 5x \sim 5x$ и $\tan 2x \sim 2x$.

Теперь заменим функции в пределе на их эквиваленты:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 5x}{\tan 2x} = \lim_{x\to0} \frac{5x}{2x} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ответ: 2.5.

3) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2}$. Здесь мы также сталкиваемся с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся следствием из первого замечательного предела, которое дает эквивалентность для косинуса: $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$ при $u \to 0$.

В нашем случае $u = 4x$. Тогда числитель эквивалентен: $1 - \cos 4x \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2$.

Подставим эту эквивалентность в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{4x^2} = \lim_{x\to0} \frac{8x^2}{4x^2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

4) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x}$. При $x \to 0$ возникает неопределенность $\frac{0}{0}$.

Применим замену на эквивалентные бесконечно малые. Для числителя используем $1 - \cos u \sim \frac{u^2}{2}$, а для знаменателя $\sin u \sim u$.

Числитель: $1 - \cos 6x \sim \frac{(6x)^2}{2} = \frac{36x^2}{2} = 18x^2$.

Знаменатель: $\sin 2x \sim 2x$, следовательно $\sin^2 2x = (\sin 2x)^2 \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Произведем замену в пределе:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 6x}{\sin^2 2x} = \lim_{x\to0} \frac{18x^2}{4x^2} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: 4.5.

5) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\ln(1+2x)}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Используем эквивалентные бесконечно малые при $x \to 0$:

Из первого замечательного предела: $\sin 3x \sim 3x$.

Из второго замечательного предела: $\ln(1+u) \sim u$, поэтому $\ln(1+2x) \sim 2x$.

Заменяем функции в пределе:

$\lim_{x\to0} \frac{\sin 3x}{\ln(1+2x)} = \lim_{x\to0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: 1.5.

6) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{\ln(1-2x)}{\tan 2x}$. При $x \to 0$ имеем неопределенность $\frac{0}{0}$.

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми:

Для числителя: $\ln(1+u) \sim u$. Полагая $u = -2x$, получаем $\ln(1-2x) \sim -2x$.

Для знаменателя: $\tan 2x \sim 2x$.

Подставляем эквивалентные функции в предел:

$\lim_{x\to0} \frac{\ln(1-2x)}{\tan 2x} = \lim_{x\to0} \frac{-2x}{2x} = -1$.

Ответ: -1.

7) Найдем предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1+4x^2)}$. Это неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Снова применим метод эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$:

Числитель: $1 - \cos 4x \sim \frac{(4x)^2}{2} = \frac{16x^2}{2} = 8x^2$.

Знаменатель: $\ln(1+u) \sim u$. Пусть $u=4x^2$. Так как $x \to 0$, то и $u \to 0$. Следовательно, $\ln(1+4x^2) \sim 4x^2$.

Заменяем выражения в пределе на эквивалентные:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 4x}{\ln(1+4x^2)} = \lim_{x\to0} \frac{8x^2}{4x^2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

8) Вычислим предел $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1+2x)}$. При $x \to 0$ получаем неопределенность $\frac{0}{0}$.

Используем эквивалентные бесконечно малые функции:

Числитель: $1 - \cos 2x \sim \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{2} = 2x^2$.

Знаменатель: $\ln(1+2x) \sim 2x$. Тогда $\ln^2(1+2x) = (\ln(1+2x))^2 \sim (2x)^2 = 4x^2$.

Подставим эквивалентные функции в исходный предел:

$\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos 2x}{\ln^2(1+2x)} = \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{4x^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: 0.5.