Номер 6, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Упростите выражение (6—10):

6. 1) $ (\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 3} + \frac{\sqrt{a}}{3 + \sqrt{a}}) \cdot \frac{a + 6\sqrt{a} + 9}{a}; $

2) $ (\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{x\sqrt{y} + y\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{x\sqrt{y} - y\sqrt{x}}) \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x + y} - \frac{2y}{x - y}. $

1) $(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} + \frac{\sqrt{a}}{3+\sqrt{a}}) \cdot \frac{a+6\sqrt{a}+9}{a}$

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели: $(\sqrt{a}-3)$ и $(3+\sqrt{a})$. Общий знаменатель: $(\sqrt{a}-3)(3+\sqrt{a}) = (\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3) = (\sqrt{a})^2 - 3^2 = a-9$.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-3} + \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+3} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+3) + \sqrt{a}(\sqrt{a}-3)}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)} = \frac{a+3\sqrt{a}+a-3\sqrt{a}}{a-9} = \frac{2a}{a-9}$.

Теперь упростим вторую дробь $\frac{a+6\sqrt{a}+9}{a}$. Числитель $a+6\sqrt{a}+9$ является формулой квадрата суммы: $a+6\sqrt{a}+9 = (\sqrt{a})^2 + 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3 + 3^2 = (\sqrt{a}+3)^2$.

Таким образом, вторая дробь равна $\frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a}$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$\frac{2a}{a-9} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a} = \frac{2a}{(\sqrt{a}-3)(\sqrt{a}+3)} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^2}{a}$.

Сокращаем общие множители $a$ и $(\sqrt{a}+3)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2\cancel{a}}{(\sqrt{a}-3)\cancel{(\sqrt{a}+3)}} \cdot \frac{(\sqrt{a}+3)^{\cancel{2}}}{\cancel{a}} = \frac{2(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}-3}$.

Ответ: $\frac{2(\sqrt{a}+3)}{\sqrt{a}-3}$.

2) $(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}) \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x+y} - \frac{2y}{x-y}$

Начнем с упрощения выражения в скобках. Преобразуем знаменатели дробей, вынеся общий множитель $\sqrt{x}\sqrt{y}$:

$x\sqrt{y}+y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y}+\sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})$;

$x\sqrt{y}-y\sqrt{x} = \sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{y}-\sqrt{y}\sqrt{y}\sqrt{x} = \sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})$.

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю $\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) = \sqrt{xy}(x-y)$:

$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y}) + (\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 + (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Раскроем квадраты в числителе, используя формулы сокращенного умножения:

$\frac{(x-2\sqrt{xy}+y) + (x+2\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{2x+2y}{\sqrt{xy}(x-y)} = \frac{2(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)}$.

Теперь умножим полученный результат на вторую часть выражения $\frac{x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y}}{x+y}$. Заметим, что $x^{\frac{3}{2}}\sqrt{y} = x^{1+\frac{1}{2}}\sqrt{y} = x\sqrt{x}\sqrt{y} = x\sqrt{xy}$.

$\frac{2(x+y)}{\sqrt{xy}(x-y)} \cdot \frac{x\sqrt{xy}}{x+y}$.

Сокращаем общие множители $(x+y)$ и $\sqrt{xy}$:

$\frac{2\cancel{(x+y)}}{\cancel{\sqrt{xy}}(x-y)} \cdot \frac{x\cancel{\sqrt{xy}}}{\cancel{x+y}} = \frac{2x}{x-y}$.

Наконец, выполним вычитание, используя полученный результат:

$\frac{2x}{x-y} - \frac{2y}{x-y} = \frac{2x-2y}{x-y} = \frac{2(x-y)}{x-y} = 2$.

Ответ: $2$.