Номер 3, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. Найдите значение углового коэффициента касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $y = e^{2x}, x_0 = 2;$

2) $y = \frac{x}{x+1} - \sqrt{6-x}, x_0 = -1;$

3) $y = \ln \frac{x}{x+1}, x_0 = 3;$

4) $y = e^{2x^2-x}, x_0 = 1.$

1) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Дана функция $y = e^{2x}$ и точка $x_0 = 2$. Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.$y' = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:$k = y'(2) = 2e^{2 \cdot 2} = 2e^4$.

Ответ: $2e^4$.

2) Дана функция $y = \frac{x}{x+1} - \sqrt{6-x}$ и точка $x_0 = -3$. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования разности, правило частного и правило для сложной функции:$y' = (\frac{x}{x+1})' - (\sqrt{6-x})'$.Производная первого слагаемого по правилу частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$(\frac{x}{x+1})' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.Производная второго слагаемого по правилу для сложной функции $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$:$(\sqrt{6-x})' = \frac{(6-x)'}{2\sqrt{6-x}} = \frac{-1}{2\sqrt{6-x}}$.Тогда производная всей функции:$y' = \frac{1}{(x+1)^2} - (-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}) = \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{6-x}}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:$k = y'(-3) = \frac{1}{(-3+1)^2} + \frac{1}{2\sqrt{6-(-3)}} = \frac{1}{(-2)^2} + \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$k = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

3) Дана функция $y = \ln\frac{x}{x+1}$ и точка $x_0 = 3$. Сначала упростим функцию, используя свойство логарифма: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$.$y = \ln x - \ln(x+1)$.Теперь найдем производную функции:$y' = (\ln x)' - (\ln(x+1))' = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$.Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:$k = y'(3) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3+1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$k = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

4) Дана функция $y = e^{2x^2-x}$ и точка $x_0 = 1$. Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.$y' = (e^{2x^2-x})' = e^{2x^2-x} \cdot (2x^2-x)' = e^{2x^2-x} \cdot (4x-1)$.Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:$k = y'(1) = e^{2 \cdot 1^2 - 1} \cdot (4 \cdot 1 - 1) = e^{2-1} \cdot (4-1) = e^1 \cdot 3 = 3e$.

Ответ: $3e$.