Номер 2, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$, $x_0 = 1$;

2) $f(x) = (2x - 1)^2 - 4\sqrt{x^5}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = 3x^{\frac{7}{3}} - 5\sqrt[5]{x^2} + 2x$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = (3x + 4) \cdot e^{2x}$, $x_0 = -1$.

1) Дана функция $f(x) = x^3 - 2\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдем производную функции $f'(x)$. Для этого представим $\sqrt{x}$ в виде степени $x^{1/2}$: $f(x) = x^3 - 2x^{1/2}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вычитания:

$f'(x) = (x^3)' - (2x^{1/2})' = 3x^{3-1} - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 3x^2 - x^{-1/2} = 3x^2 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Теперь подставим значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$f'(1) = 3(1)^2 - \frac{1}{\sqrt{1}} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$.

Ответ: 2

2) Дана функция $f(x) = (2x - 1)^2 - 4\sqrt[7]{x^5}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем функцию, представив корень в виде степени: $f(x) = (2x - 1)^2 - 4x^{5/7}$.

Найдем производную. Для первого слагаемого $(2x - 1)^2$ используем правило дифференцирования сложной функции: $((g(x))^n)' = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$. Для второго слагаемого — правило для степенной функции.

$f'(x) = 2(2x - 1)^{2-1} \cdot (2x - 1)' - 4 \cdot \frac{5}{7}x^{5/7 - 1} = 2(2x - 1) \cdot 2 - \frac{20}{7}x^{-2/7} = 4(2x - 1) - \frac{20}{7}x^{-2/7} = 8x - 4 - \frac{20}{7\sqrt[7]{x^2}}$.

Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

$f'(1) = 8(1) - 4 - \frac{20}{7 \cdot \sqrt[7]{1^2}} = 8 - 4 - \frac{20}{7} = 4 - \frac{20}{7} = \frac{28}{7} - \frac{20}{7} = \frac{8}{7}$.

Ответ: $\frac{8}{7}$

3) Дана функция $f(x) = 3x^{7/3} - 5\sqrt[5]{x^2} + 2x$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала перепишем корень в виде степени: $f(x) = 3x^{7/3} - 5x^{2/5} + 2x$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(ax^n)' = a \cdot n \cdot x^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (3x^{7/3})' - (5x^{2/5})' + (2x)' = 3 \cdot \frac{7}{3}x^{7/3 - 1} - 5 \cdot \frac{2}{5}x^{2/5 - 1} + 2 = 7x^{4/3} - 2x^{-3/5} + 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 7(1)^{4/3} - 2(1)^{-3/5} + 2 = 7 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 = 7$.

Ответ: 7

4) Дана функция $f(x) = (3x + 4) \cdot e^{2x}$ и точка $x_0 = -1$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = 3x + 4$ и $v(x) = e^{2x}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (3x + 4)' = 3$.

$v'(x) = (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$ (по правилу дифференцирования сложной функции).

Теперь применим правило произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3 \cdot e^{2x} + (3x + 4) \cdot 2e^{2x}$.

Вынесем общий множитель $e^{2x}$ за скобки для упрощения: $f'(x) = e^{2x}(3 + 2(3x + 4)) = e^{2x}(3 + 6x + 8) = (6x + 11)e^{2x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = (6(-1) + 11)e^{2(-1)} = (-6 + 11)e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.

Ответ: $\frac{5}{e^2}$