Номер 7, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

7. 1) $\left(\frac{\sqrt{1+a^2}}{1+b+a^2} - \frac{\sqrt{b} \cdot (\sqrt{1+a^2} - \sqrt{b})^2}{(1+a^2)^2 - b^2}\right)^{-1} - 10^{\log_{100}(1+a^2)};$

2) $2^{\log_2 x} + \sqrt{\frac{4}{x} - 2 + \frac{1}{4x^{-1}}} + \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{2}}.$

1)

Упростим данное выражение по частям.

Сначала рассмотрим выражение в больших скобках: $ \left( \frac{\sqrt{1+a^2}}{1+b+a^2} - \frac{\sqrt{b} \cdot (\sqrt{1+a^2} - \sqrt{b})^2}{(1+a^2)^2 - b^2} \right) $.

Для удобства введем замену: пусть $X = \sqrt{1+a^2}$ и $Y = \sqrt{b}$. Тогда $X^2 = 1+a^2$ и $Y^2 = b$.

Выражение примет вид: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)^2}{(X^2)^2-(Y^2)^2} $.

Знаменатель второй дроби является разностью квадратов: $(X^2)^2 - (Y^2)^2 = X^4 - Y^4 = (X^2-Y^2)(X^2+Y^2)$.

В свою очередь, $X^2-Y^2 = (X-Y)(X+Y)$. Таким образом, знаменатель равен $(X-Y)(X+Y)(X^2+Y^2)$.

Подставим это в выражение: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)^2}{(X-Y)(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

При условии $X \neq Y$ (то есть $\sqrt{1+a^2} \neq \sqrt{b}$ или $1+a^2 \neq b$), сократим дробь на $(X-Y)$: $ \frac{X}{X^2+Y^2} - \frac{Y(X-Y)}{(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(X+Y)(X^2+Y^2)$:

$ \frac{X(X+Y) - Y(X-Y)}{(X+Y)(X^2+Y^2)} = \frac{X^2+XY-XY+Y^2}{(X+Y)(X^2+Y^2)} = \frac{X^2+Y^2}{(X+Y)(X^2+Y^2)} $.

Сократим на $X^2+Y^2$ (это выражение всегда больше 0, так как $X^2 = 1+a^2 \ge 1$ и $Y^2 = b \ge 0$, и они не могут быть одновременно равны нулю): $ \frac{1}{X+Y} $.

Теперь вернемся к исходному выражению. Первая его часть: $ \left( \frac{1}{X+Y} \right)^{-1} = X+Y $.

Подставим обратную замену: $ \sqrt{1+a^2} + \sqrt{b} $.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $ 10^{\log_{100}(1+a^2)} $.

Используем свойство логарифмов для перехода к основанию 10: $ \log_{100}(1+a^2) = \frac{\log_{10}(1+a^2)}{\log_{10}(100)} = \frac{\log_{10}(1+a^2)}{2} = \frac{1}{2}\log_{10}(1+a^2) $.

Подставим это в степень: $ 10^{\frac{1}{2}\log_{10}(1+a^2)} = (10^{\log_{10}(1+a^2)})^{\frac{1}{2}} $.

Используя основное логарифмическое тождество $k^{\log_k m} = m$, получаем: $ (1+a^2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1+a^2} $.

Теперь объединим обе части: $ (\sqrt{1+a^2} + \sqrt{b}) - \sqrt{1+a^2} = \sqrt{b} $.

Область допустимых значений: $b \ge 0$, $1+a^2 > 0$ (всегда верно), $(1+a^2)^2 - b^2 \neq 0 \implies 1+a^2 \neq b$.

Ответ: $ \sqrt{b} $.

2)

Упростим данное выражение по частям. Область допустимых значений определяется условием $x>0$.

1. Первый член: $ 2^{\log_2 x} $. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $ 2^{\log_2 x} = x $.

2. Второй член: $ \sqrt{\frac{4}{x} - 2 + \frac{1}{4x^{-1}}} $. Упростим выражение под корнем. Так как $x^{-1} = \frac{1}{x}$, то $ \frac{1}{4x^{-1}} = \frac{1}{4/x} = \frac{x}{4} $.

Выражение под корнем приобретает вид: $ \frac{4}{x} - 2 + \frac{x}{4} $. Это выражение является полным квадратом разности:

$ (\frac{2}{\sqrt{x}})^2 - 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} + (\frac{\sqrt{x}}{2})^2 = (\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2})^2 $.

Тогда второй член равен: $ \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2})^2} = |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| $.

3. Третий член: $ \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{1}{4x} + \frac{1}{2}} $. Выражение под корнем также является полным квадратом суммы:

$ (\frac{\sqrt{x}}{2})^2 + 2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + (\frac{1}{2\sqrt{x}})^2 = (\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^2 $.

Тогда третий член равен: $ \sqrt{(\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}})^2} = |\frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}}| $. Поскольку $x>0$, выражение в модуле всегда положительно, поэтому модуль можно опустить: $ \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $.

Соберем все части вместе: $ x + |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} $.

Для раскрытия модуля необходимо определить знак выражения $ \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{4-x}{2\sqrt{x}} $.

Так как знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен при $x>0$, знак всего выражения зависит от знака числителя $4-x$.

Случай 1: $ 4-x \ge 0 $, то есть $ 0 < x \le 4 $.

В этом случае $ |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} $.

Все выражение становится: $ x + (\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}) + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{5}{2\sqrt{x}} $.

Случай 2: $ 4-x < 0 $, то есть $ x > 4 $.

В этом случае $ |\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}| = -(\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{2}) = \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}} $.

Все выражение становится: $ x + (\frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}) + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \frac{\sqrt{x}}{2} + \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \sqrt{x} - \frac{4}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{x}} = x + \sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} $.

Ответ: $ \begin{cases} x + \frac{5}{2\sqrt{x}}, & \text{если } 0 < x \le 4 \\ x + \sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}}, & \text{если } x > 4 \end{cases} $