Номер 8, страница 220 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

8. 1) $ ((a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1} $

2) $ ((a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1} $

1) Для упрощения выражения $((a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$ будем последовательно применять свойства степеней.

Шаг 1: Раскроем внутренние скобки, возведя произведение в степень 3. Для этого используем свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 = (a^{\frac{3}{7}})^3 \cdot (y^{-0.4})^3 = a^{\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0.4 \cdot 3} = a^{\frac{9}{7}} \cdot y^{-1.2}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат обратно в исходное выражение.

$(a^{\frac{9}{7}} \cdot y^{-1.2} \cdot a^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$.

Шаг 3: Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Для основания $a$: $a^{\frac{9}{7}} \cdot a^{\frac{3}{7}} = a^{\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = a^{\frac{12}{7}}$.

Для основания $y$: $y^{-1.2} \cdot y^{0.2} = y^{-1.2 + 0.2} = y^{-1}$.

Шаг 4: Выражение теперь выглядит так:

$(a^{\frac{12}{7}} \cdot y^{-1})^{-1}$.

Шаг 5: Возведем полученное произведение в степень -1, снова используя свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{12}{7}})^{-1} \cdot (y^{-1})^{-1} = a^{\frac{12}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = a^{-\frac{12}{7}}y^1 = a^{-\frac{12}{7}}y$.

Ответ: $a^{-\frac{12}{7}}y$.

2) Упростим выражение $((a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{3.5} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1}$.

Шаг 1: Представим десятичную степень 3.5 в виде обыкновенной дроби для удобства вычислений: $3.5 = \frac{7}{2}$.

Шаг 2: Раскроем первые скобки, возведя произведение в степень $\frac{7}{2}$, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$.

$(a^{\frac{2}{7}} \cdot y^{\frac{1}{14}})^{\frac{7}{2}} = (a^{\frac{2}{7}})^{\frac{7}{2}} \cdot (y^{\frac{1}{14}})^{\frac{7}{2}} = a^{\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot y^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = a^1 \cdot y^{\frac{7}{28}} = a \cdot y^{\frac{1}{4}}$.

Шаг 3: Подставим результат в исходное выражение.

$(a \cdot y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}} \cdot a^{-1})^{-1}$.

Шаг 4: Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Для основания $a$: $a^1 \cdot a^{-1} = a^{1-1} = a^0 = 1$.

Для основания $y$: $y^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{5}{4}} = y^{\frac{1}{4} + \frac{5}{4}} = y^{\frac{6}{4}} = y^{\frac{3}{2}}$.

Шаг 5: Выражение упрощается до:

$(1 \cdot y^{\frac{3}{2}})^{-1} = (y^{\frac{3}{2}})^{-1}$.

Шаг 6: Применим свойство $(x^m)^n = x^{mn}$ к оставшемуся выражению.

$y^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = y^{-\frac{3}{2}}$.

Ответ: $y^{-\frac{3}{2}}$.