Страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.14. Найдите первообразную для функции:

1) $f(x)=\frac{2}{\cos^2 x} + 2x;$

2) $f(x)=\frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x};$

3) $f(x)=\frac{4x}{x^2+1} + e^{-x};$

4) $f(x)=\frac{2\ln x}{x} - 2e^{x}.$

1) Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 2x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная для суммы функций равна сумме первообразных, поэтому:

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 x} + 2x) dx = \int \frac{2}{\cos^2 x} dx + \int 2x dx$

Используем таблицу основных интегралов:

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_1$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C_2$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int \frac{2}{\cos^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2\tan x$

$\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2$

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = 2\tan x + x^2 + C$

Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^2 + C$

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x}$.

$F(x) = \int (\frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x}) dx = \int \frac{4}{\sin^2 2x} dx + \int e^{4x} dx$

Для интегрирования сложных функций вида $g(kx+b)$ используется правило $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k} G(kx+b) + C$, где $G$ - первообразная для $g$.

Для первого слагаемого: первообразная для $\frac{1}{\sin^2 u}$ есть $-\cot u$. В нашем случае $u=2x$, поэтому $k=2$.

$\int \frac{4}{\sin^2 2x} dx = 4 \int \frac{1}{\sin^2 2x} dx = 4 \cdot (\frac{1}{2} (-\cot 2x)) = -2\cot 2x$

Для второго слагаемого: первообразная для $e^u$ есть $e^u$. В нашем случае $u=4x$, поэтому $k=4$.

$\int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x}$

Суммируя полученные выражения и добавляя константу $C$, находим первообразную:

$F(x) = -2\cot 2x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$

Ответ: $F(x) = -2\cot 2x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1} + e^{-x}$.

$F(x) = \int (\frac{4x}{x^2 + 1} + e^{-x}) dx = \int \frac{4x}{x^2 + 1} dx + \int e^{-x} dx$

Рассмотрим первый интеграл $\int \frac{4x}{x^2 + 1} dx$. Вынесем константу 2 за знак интеграла: $2 \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.

Заметим, что числитель $2x$ является производной знаменателя $x^2+1$. Используем формулу $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$. Поскольку $x^2+1 > 0$ для любых $x$, модуль можно опустить.

$2 \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = 2\ln(x^2+1)$

Для второго интеграла $\int e^{-x} dx$ используем правило для $e^{kx}$, где $k=-1$.

$\int e^{-x} dx = \frac{1}{-1}e^{-x} = -e^{-x}$

Складываем результаты:

$F(x) = 2\ln(x^2+1) - e^{-x} + C$

Ответ: $F(x) = 2\ln(x^2+1) - e^{-x} + C$

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{2\ln x}{x} - 2e^{-2x}$.

$F(x) = \int (\frac{2\ln x}{x} - 2e^{-2x}) dx = \int \frac{2\ln x}{x} dx - \int 2e^{-2x} dx$

Для первого интеграла $2 \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = \ln x$, тогда $dt = \frac{1}{x}dx$.

$2 \int t dt = 2 \frac{t^2}{2} + C_1 = t^2 + C_1$. Возвращаясь к исходной переменной, получаем $(\ln x)^2$.

Для второго интеграла $-2 \int e^{-2x} dx$ используем правило для $e^{kx}$, где $k=-2$.

$-2 \int e^{-2x} dx = -2 \cdot (\frac{1}{-2}e^{-2x}) = e^{-2x}$

Объединяем результаты и добавляем константу $C$:

$F(x) = (\ln x)^2 + e^{-2x} + C$

Ответ: $F(x) = \ln^2 x + e^{-2x} + C$

27.15. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

$y = x^2 - 4x + 5$, касательной к параболе, проходящей через точку $M(4; 5)$, и осью координат.

2) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y = \sin^2x$, $y = \cos^2x$, $x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right].$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 4x + 5$, касательной к этой параболе, проходящей через точку $M(4; 5)$, и осью ординат, выполним следующие шаги.

Сначала найдем уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = x^2 - 4x + 5$. Проверим, лежит ли точка $M(4; 5)$ на параболе: $f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Точка $M$ лежит на параболе, следовательно, она является точкой касания, и ее абсцисса $x_0 = 4$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$.

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 4$: $f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$.

Теперь подставим найденные значения ($x_0 = 4$, $f(x_0) = 5$, $f'(x_0) = 4$) в уравнение касательной:$y = 5 + 4(x - 4) = 5 + 4x - 16 = 4x - 11$.Таким образом, уравнение касательной: $y_{кас} = 4x - 11$.

Фигура ограничена параболой $y_{пар} = x^2 - 4x + 5$, касательной $y_{кас} = 4x - 11$ и осью ординат ($x=0$). Пределы интегрирования по оси $x$ будут от $0$ до абсциссы точки касания, то есть до $x=4$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Найдем, какая из функций больше на интервале $[0, 4]$. Рассмотрим их разность:$y_{пар} - y_{кас} = (x^2 - 4x + 5) - (4x - 11) = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.Так как $(x-4)^2 \ge 0$ для всех $x$, то парабола $y_{пар}$ лежит выше касательной $y_{кас}$ (или совпадает с ней в точке касания) на всем промежутке.

Площадь $S$ искомой фигуры равна:$S = \int_{0}^{4} (y_{пар} - y_{кас}) dx = \int_{0}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$.

Вычислим определенный интеграл:$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{8x^2}{2} + 16x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_{0}^{4}$.

Подставляем пределы интегрирования:$S = \left( \frac{4^3}{3} - 4 \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0^2 + 16 \cdot 0 \right) = \left( \frac{64}{3} - 64 + 64 \right) - 0 = \frac{64}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sin^2 x$ и $y = \cos^2 x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |y_2(x) - y_1(x)| dx$.

Для начала определим, какая из функций принимает большее значение на заданном отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. Сравним $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$.На интервале $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ выполняется неравенство $|\cos x| > |\sin x|$. Так как на этом отрезке $\cos x > 0$, то $\cos x > |\sin x|$. Возведя обе части в квадрат, получаем $\cos^2 x > \sin^2 x$. В граничных точках $x = \pm\frac{\pi}{4}$ значения функций равны.Следовательно, на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ график функции $y = \cos^2 x$ лежит не ниже графика функции $y = \sin^2 x$.

Таким образом, площадь фигуры можно найти как интеграл от разности $(\cos^2 x - \sin^2 x)$ по отрезку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$:$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$.

Воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos(2x) dx$.

Вычислим интеграл:$S = \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:$S = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.

27.16. Решите неравенство:

1) $\log_2 \log_{\frac{1}{3}} \log_5(x) > 0;$

2) $\log_3(3x + 5) < 3;$

3) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2 - 3x + 2} > 1;$

4) $7^{x^2} < \left(\frac{1}{49}\right)^{x-4}.$

1) Решим неравенство $log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > 0$.

Это сложное логарифмическое неравенство. Решать его будем последовательно, начиная с внешнего логарифма, и на каждом шаге учитывать область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ log_5(x) > 0 \\ log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

1. $x > 0$

2. $log_5(x) > 0 \implies log_5(x) > log_5(1)$. Так как основание $5 > 1$, то $x > 1$.

3. $log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 0 \implies log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > log_{\frac{1}{3}}(1)$. Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $log_5(x) < 1 \implies log_5(x) < log_5(5)$. Так как основание $5 > 1$, то $x < 5$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 5$.

Теперь решим само неравенство $log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > 0$.

Представим $0$ как $log_2(1)$.

$log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > log_2(1)$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 1$

Представим $1$ как $log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$.

$log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется:

$log_5(x) < \frac{1}{3}$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 5^{\frac{1}{3}}$ или $x < \sqrt[3]{5}$.

Теперь найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $1 < x < 5$.

$ \begin{cases} x < \sqrt[3]{5} \\ 1 < x < 5 \end{cases} $

Поскольку $1^3 = 1$ и $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$, то $1 < \sqrt[3]{5}$. Также очевидно, что $\sqrt[3]{5} < 5$.

Следовательно, решением является интервал $(1, \sqrt[3]{5})$.

Ответ: $x \in (1; \sqrt[3]{5})$.

2) Решим неравенство $log_3(3x + 5) < 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$3x + 5 > 0$

$3x > -5$

$x > -\frac{5}{3}$

Теперь решаем само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$3 = log_3(3^3) = log_3(27)$

Получаем:

$log_3(3x + 5) < log_3(27)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=log_3(t)$ возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 5 < 27$

$3x < 27 - 5$

$3x < 22$

$x < \frac{22}{3}$

Объединим полученное решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x > -\frac{5}{3} \\ x < \frac{22}{3} \end{cases} $

Таким образом, $-\frac{5}{3} < x < \frac{22}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}; \frac{22}{3})$.

3) Решим неравенство $(\frac{2}{3})^{x^2 - 3x + 2} > 1$.

Представим число $1$ в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$1 = (\frac{2}{3})^0$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{x^2 - 3x + 2} > (\frac{2}{3})^0$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ направлена ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

4) Решим неравенство $7^{x^2} < (\frac{1}{49})^{x-4}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию — 7.

$\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

Подставим это в исходное неравенство:

$7^{x^2} < (7^{-2})^{x-4}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$7^{x^2} < 7^{-2(x-4)}$

$7^{x^2} < 7^{-2x+8}$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 < -2x + 8$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$x_1 = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ направлена ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-4 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-4; 2)$.