Номер 27.16, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.16. Решите неравенство:

1) $\log_2 \log_{\frac{1}{3}} \log_5(x) > 0;$

2) $\log_3(3x + 5) < 3;$

3) $\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2 - 3x + 2} > 1;$

4) $7^{x^2} < \left(\frac{1}{49}\right)^{x-4}.$

1) Решим неравенство $log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > 0$.

Это сложное логарифмическое неравенство. Решать его будем последовательно, начиная с внешнего логарифма, и на каждом шаге учитывать область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ log_5(x) > 0 \\ log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 0 \end{cases} $

Решим эту систему:

1. $x > 0$

2. $log_5(x) > 0 \implies log_5(x) > log_5(1)$. Так как основание $5 > 1$, то $x > 1$.

3. $log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 0 \implies log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > log_{\frac{1}{3}}(1)$. Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $log_5(x) < 1 \implies log_5(x) < log_5(5)$. Так как основание $5 > 1$, то $x < 5$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $1 < x < 5$.

Теперь решим само неравенство $log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > 0$.

Представим $0$ как $log_2(1)$.

$log_2(log_{\frac{1}{3}}(log_5(x))) > log_2(1)$

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > 1$

Представим $1$ как $log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$.

$log_{\frac{1}{3}}(log_5(x)) > log_{\frac{1}{3}}(\frac{1}{3})$

Так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, знак неравенства меняется:

$log_5(x) < \frac{1}{3}$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 5^{\frac{1}{3}}$ или $x < \sqrt[3]{5}$.

Теперь найдём пересечение полученного решения с ОДЗ: $1 < x < 5$.

$ \begin{cases} x < \sqrt[3]{5} \\ 1 < x < 5 \end{cases} $

Поскольку $1^3 = 1$ и $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$, то $1 < \sqrt[3]{5}$. Также очевидно, что $\sqrt[3]{5} < 5$.

Следовательно, решением является интервал $(1, \sqrt[3]{5})$.

Ответ: $x \in (1; \sqrt[3]{5})$.

2) Решим неравенство $log_3(3x + 5) < 3$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$3x + 5 > 0$

$3x > -5$

$x > -\frac{5}{3}$

Теперь решаем само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$3 = log_3(3^3) = log_3(27)$

Получаем:

$log_3(3x + 5) < log_3(27)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=log_3(t)$ возрастающая, поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 5 < 27$

$3x < 27 - 5$

$3x < 22$

$x < \frac{22}{3}$

Объединим полученное решение с ОДЗ:

$ \begin{cases} x > -\frac{5}{3} \\ x < \frac{22}{3} \end{cases} $

Таким образом, $-\frac{5}{3} < x < \frac{22}{3}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}; \frac{22}{3})$.

3) Решим неравенство $(\frac{2}{3})^{x^2 - 3x + 2} > 1$.

Представим число $1$ в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$1 = (\frac{2}{3})^0$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{x^2 - 3x + 2} > (\frac{2}{3})^0$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ направлена ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

4) Решим неравенство $7^{x^2} < (\frac{1}{49})^{x-4}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию — 7.

$\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$

Подставим это в исходное неравенство:

$7^{x^2} < (7^{-2})^{x-4}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$7^{x^2} < 7^{-2(x-4)}$

$7^{x^2} < 7^{-2x+8}$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$x^2 < -2x + 8$

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Используем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$x_1 = \frac{-2 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-2 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Парабола $y = x^2 + 2x - 8$ направлена ветвями вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-4 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-4; 2)$.