Номер 28.3, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.3. 1) $y'' - 6y' + 9y = 0;$

2) $y'' + 8y' + 16y = 0;$

3) $y'' - 2y' - 8y = 0;$

4) $y'' + 4y' - 12y = 0.$

1) Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляется характеристическое уравнение путем замены $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 6k + 9y = 0$

Данное уравнение является полным квадратом:

$(k-3)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = 3$ кратности 2. В случае кратного действительного корня $k$ общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$.

Подставляя найденный корень, получаем общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

2) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' + 8y' + 16y = 0$:

$k^2 + 8k + 16 = 0$

Это также полный квадрат:

$(k+4)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = -4$ кратности 2. Общее решение для такого случая:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$

Подставляем значение корня:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x}$

3) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' - 2y' - 8y = 0$:

$k^2 - 2k - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна 2. Подходят корни $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$k_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$k_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Уравнение имеет два различных действительных корня. В этом случае общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляя найденные корни, получаем:

$y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

4) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' + 4y' - 12y = 0$:

$k^2 + 4k - 12 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета, произведение корней равно -12, а сумма -4. Подходят корни $k_1 = 2$ и $k_2 = -6$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

$k_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

$k_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

Уравнение имеет два различных действительных корня. Общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляя найденные корни, получаем:

$y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-6x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-6x}$