Номер 28.5, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.5. Решите линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) $y'' + 5y' - 6y = 0;$

2) $y'' - 3y' - 10y = 0;$

3) $y'' - 4y' + 12y = 0;$

4) $y'' + 8y' + 36y = 0.$

1) Для решения уравнения $y'' + 5y' - 6y = 0$ составляется характеристическое уравнение: $r^2 + 5r - 6 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни действительные и различные: $r_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5+7}{2} = 1$ и $r_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5-7}{2} = -6$.

Поскольку корни действительные и различные, общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

Ответ: $y = C_1 e^x + C_2 e^{-6x}$.

2) Для уравнения $y'' - 3y' - 10y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 - 3r - 10 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни действительные и различные: $r_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$ и $r_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2$.

Общее решение для случая с двумя различными действительными корнями имеет вид $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

Ответ: $y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-2x}$.

3) Для уравнения $y'' - 4y' + 12y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 - 4r + 12 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$.

Так как $D < 0$, корни являются комплексно-сопряженными: $r_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{4 \pm i\sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{2}$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm i\beta$ общее решение записывается как $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$. В данном случае $\alpha = 2$ и $\beta = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $y = e^{2x}(C_1 \cos(2\sqrt{2}x) + C_2 \sin(2\sqrt{2}x))$.

4) Для уравнения $y'' + 8y' + 36y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 + 8r + 36 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 64 - 144 = -80$.

Так как $D < 0$, корни являются комплексно-сопряженными: $r_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-80}}{2} = \frac{-8 \pm i\sqrt{80}}{2} = \frac{-8 \pm 4i\sqrt{5}}{2} = -4 \pm 2i\sqrt{5}$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm i\beta$ общее решение записывается как $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$. В данном случае $\alpha = -4$ и $\beta = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $y = e^{-4x}(C_1 \cos(2\sqrt{5}x) + C_2 \sin(2\sqrt{5}x))$.