Номер 2, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Решением дифференциального уравнения $y' = 5y$ является функция:

A) $y = 5x$;

B) $y = e^{5x} + C$;

C) $y = 3 - e^{5x}$;

D) $y = C - e^{5x}$;

E) $y = x - e^{5x}$.

Задача состоит в том, чтобы найти функцию, которая является решением дифференциального уравнения $y' = 5y$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его, чтобы найти общий вид решения.

1. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 5y$

2. Разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в одну сторону, а с $x$ — в другую:

$\frac{dy}{y} = 5 dx$

3. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1}{y} dy = \int 5 dx$

4. Вычислим интегралы:

$\ln|y| = 5x + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

5. Выразим $y$ из этого уравнения:

$|y| = e^{5x + C_1}$

$|y| = e^{5x} \cdot e^{C_1}$

6. Обозначим новую константу $C = \pm e^{C_1}$. Поскольку $C_1$ — произвольная вещественная константа, $e^{C_1}$ — произвольная положительная константа. Таким образом, $C$ может быть любой ненулевой константой. Также заметим, что $y=0$ является тривиальным решением уравнения, что соответствует случаю $C=0$. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

$y = Ce^{5x}$

Теперь проверим предложенные варианты ответов, подставляя каждую функцию в исходное уравнение $y' = 5y$.

A) $y = 5x$

Находим производную: $y' = (5x)' = 5$.

Подставляем в уравнение: $5 = 5(5x)$, что упрощается до $5 = 25x$. Это равенство не является тождеством, оно верно только при $x=1/5$. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

B) $y = e^{5x} + C$

Находим производную: $y' = (e^{5x} + C)' = 5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $5e^{5x} = 5(e^{5x} + C)$, что упрощается до $5e^{5x} = 5e^{5x} + 5C$.

Это равенство верно только в том случае, если $5C = 0$, то есть $C=0$. Таким образом, функция $y = e^{5x}$ является частным решением уравнения, но функция $y = e^{5x} + C$ в общем виде (для произвольной константы $C$) решением не является.

Ответ: Неверно.

C) $y = 3 - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (3 - e^{5x})' = -5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $-5e^{5x} = 5(3 - e^{5x})$, что упрощается до $-5e^{5x} = 15 - 5e^{5x}$.

Это приводит к неверному равенству $0 = 15$. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

D) $y = C - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (C - e^{5x})' = -5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $-5e^{5x} = 5(C - e^{5x})$, что упрощается до $-5e^{5x} = 5C - 5e^{5x}$.

Это равенство верно только в том случае, если $5C = 0$, то есть $C=0$. Как и в варианте B, функция является решением только в частном случае.

Ответ: Неверно.

E) $y = x - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (x - e^{5x})' = 1 - 5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $1 - 5e^{5x} = 5(x - e^{5x})$, что упрощается до $1 - 5e^{5x} = 5x - 5e^{5x}$.

Это приводит к равенству $1 = 5x$, которое не является тождеством. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

Заключение

Строго говоря, ни один из предложенных вариантов не является правильным общим решением дифференциального уравнения. Общее решение — $y = Ce^{5x}$.

Наиболее вероятно, что в варианте B) допущена опечатка, и вместо $y = e^{5x} + C$ должно быть $y = C e^{5x}$ (или $y = e^{5x} \cdot C$). При такой замене вариант B становится верным общим решением. В задачах такого типа часто выбирают вариант, который содержит правильную функциональную часть ($e^{5x}$) и произвольную постоянную, даже если она применена некорректно (сложение вместо умножения). Исходя из этого предположения, вариант B является наиболее вероятным ответом.

Ответ: B