Номер 6, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. Найдите общее решение дифференциального уравнения $y'' + 32y = 0:$

A) $y = C_1 \cos 4\sqrt{2}x + C_2 \sin 4\sqrt{2}x;$

B) $y = C_1 \cos 2\sqrt{2}x + C_2 \sin 2\sqrt{2}x;$

C) $y = C_1 \cos \sqrt{2}x + C_2 \sin \sqrt{2}x;$

D) $y = C_1 \cos 8\sqrt{2}x + C_2 \sin 8\sqrt{2}x;$

E) $y = e^x(C_1 \cos 4\sqrt{2}x + C_2 \sin 4\sqrt{2}x).$

Данное уравнение $y'' + 32y = 0$ является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения необходимо составить и решить характеристическое уравнение. Оно получается заменой производных на степени переменной $k$: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

$k^2 + 32 = 0$

Теперь найдем корни этого уравнения:

$k^2 = -32$

$k = \pm\sqrt{-32} = \pm i\sqrt{32}$

Упростим корень из 32:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, корни характеристического уравнения:

$k_{1,2} = \pm i4\sqrt{2}$

Мы получили пару чисто мнимых корней. Это частный случай комплексно-сопряженных корней вида $k = \alpha \pm i\beta$, где действительная часть $\alpha = 0$, а мнимая часть $\beta = 4\sqrt{2}$.

Общее решение дифференциального уравнения для случая комплексно-сопряженных корней записывается по формуле:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$

Подставим наши значения $\alpha=0$ и $\beta=4\sqrt{2}$ в формулу общего решения:

$y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(4\sqrt{2}x) + C_2\sin(4\sqrt{2}x))$

Поскольку $e^0 = 1$, общее решение принимает вид:

$y(x) = C_1\cos(4\sqrt{2}x) + C_2\sin(4\sqrt{2}x)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту A.

Ответ: A) $y=C_1\cos4\sqrt{2}x+C_2\sin4\sqrt{2}x;$