Номер 3, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. Решением дифференциального уравнения $y' = y \cos x$ является функция:

A) $y = xe^{\sin x}$;

B) $y = e^{\sin x + C}$;

C) $y = e^{-\sin x}$;

D) $y = C \cdot e^{\sin x}$;

E) $y = C \cdot e^{\cos x}$.

Данное дифференциальное уравнение $y' = y \cos x$ является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения представим производную $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ и выполним разделение переменных.

Исходное уравнение:

$y' = y \cos x$

Заменяем $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = y \cos x$

Разделяем переменные, перенося все члены с $y$ в левую часть, а все члены с $x$ – в правую. Для этого делим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$) и умножаем на $dx$:

$\frac{1}{y} dy = \cos x \, dx$

Теперь интегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1}{y} dy = \int \cos x \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\ln|y| = \sin x + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить $y$, потенцируем обе части уравнения (возводим $e$ в степень обеих частей):

$e^{\ln|y|} = e^{\sin x + C_1}$

$|y| = e^{\sin x} \cdot e^{C_1}$

Поскольку $e^{C_1}$ является положительной константой, мы можем заменить $\pm e^{C_1}$ на новую произвольную постоянную $C$ ($C \neq 0$). Также стоит проверить, является ли $y=0$ решением. Подстановка в исходное уравнение дает $0' = 0 \cdot \cos x$, что равно $0=0$. Следовательно, $y=0$ также является решением. Это решение можно включить в общее, если разрешить $C=0$. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y = C \cdot e^{\sin x}$

Сравнивая полученное общее решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом D. Проверим все варианты для полноты решения.

A) $y = xe^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = (x)'e^{\sin x} + x(e^{\sin x})' = 1 \cdot e^{\sin x} + x \cdot e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x}(1 + x \cos x)$.

Подставим в исходное уравнение: $e^{\sin x}(1 + x \cos x) = (xe^{\sin x}) \cos x$. После сокращения на $e^{\sin x}$ получаем $1 + x \cos x = x \cos x$, что приводит к неверному равенству $1=0$.

Ответ: неверно.

B) $y = e^{2\sin x} + C$

Найдем производную: $y' = e^{2\sin x} \cdot (2\sin x)' + 0 = 2\cos x \cdot e^{2\sin x}$.

Подставим в исходное уравнение: $2\cos x \cdot e^{2\sin x} = (e^{2\sin x} + C)\cos x$. После сокращения на $\cos x$ (для $\cos x \neq 0$) получаем $2e^{2\sin x} = e^{2\sin x} + C$, что приводит к $e^{2\sin x} = C$. Это не может быть тождеством, так как левая часть зависит от $x$, а правая - константа.

Ответ: неверно.

C) $y = e^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cos x$.

Подставим в исходное уравнение: $e^{\sin x} \cos x = (e^{\sin x}) \cos x$. Равенство верно. Однако это частное решение, которое получается из общего решения $y = C \cdot e^{\sin x}$ при $C=1$. Вариант D является более полным, общим решением.

Ответ: является частным решением.

D) $y = C \cdot e^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = C \cdot (e^{\sin x})' = C \cdot e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = C e^{\sin x} \cos x$.

Подставим в исходное уравнение: $C e^{\sin x} \cos x = (C e^{\sin x}) \cos x$. Равенство верно для любой константы $C$. Это и есть общее решение уравнения.

Ответ: верно.

E) $y = C \cdot e^{\cos x}$

Найдем производную: $y' = C \cdot (e^{\cos x})' = C \cdot e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -C \sin x e^{\cos x}$.

Подставим в исходное уравнение: $-C \sin x e^{\cos x} = (C e^{\cos x}) \cos x$. После сокращения на $C e^{\cos x}$ получаем $-\sin x = \cos x$, что не является тождеством.

Ответ: неверно.