Страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.8. Составьте соответствующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющее решение:

1) $y = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$;

2) $y = e^{x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$;

3) $y = e^{x}(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x)$;

4) $y = e^{2x}(C_1 \cos 2\sqrt{3}x + C_2 \sin 2\sqrt{3}x)$.

Для составления однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по его решению, необходимо определить корни характеристического уравнения.

Все представленные решения имеют вид $y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$, что соответствует случаю, когда характеристическое уравнение $ay'' + by' + cy = 0$ имеет пару комплексно-сопряженных корней $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.

Зная корни, можно восстановить само характеристическое уравнение по формуле $(k - k_1)(k - k_2) = 0$. Для комплексно-сопряженных корней это выражение преобразуется к виду $k^2 - 2\alpha k + (\alpha^2 + \beta^2) = 0$.

Соответствующее этому характеристическому уравнению дифференциальное уравнение имеет вид: $y'' - 2\alpha y' + (\alpha^2 + \beta^2)y = 0$.

Воспользуемся этой общей схемой для решения каждого пункта.

1) Дано решение $y = e^{-3x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x))$.

Сравнивая с общей формулой, находим параметры $\alpha$ и $\beta$: $\alpha = -3$, $\beta = 2$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = -3 \pm 2i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(-3)y' + ((-3)^2 + 2^2)y = 0$

$y'' + 6y' + (9 + 4)y = 0$

$y'' + 6y' + 13y = 0$

Ответ: $y'' + 6y' + 13y = 0$

2) Дано решение $y = e^x(C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x))$.

Из этого решения следует, что $\alpha = 1$, $\beta = 4$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = 1 \pm 4i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(1)y' + (1^2 + 4^2)y = 0$

$y'' - 2y' + (1 + 16)y = 0$

$y'' - 2y' + 17y = 0$

Ответ: $y'' - 2y' + 17y = 0$

3) Дано решение $y = e^x(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$.

Здесь параметры равны: $\alpha = 1$, $\beta = 5$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = 1 \pm 5i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(1)y' + (1^2 + 5^2)y = 0$

$y'' - 2y' + (1 + 25)y = 0$

$y'' - 2y' + 26y = 0$

Ответ: $y'' - 2y' + 26y = 0$

4) Дано решение $y = e^{-2x}(C_1\cos(2\sqrt{3}x) + C_2\sin(2\sqrt{3}x))$.

В этом случае параметры: $\alpha = -2$, $\beta = 2\sqrt{3}$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = -2 \pm i2\sqrt{3}$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(-2)y' + ((-2)^2 + (2\sqrt{3})^2)y = 0$

$y'' + 4y' + (4 + 4 \cdot 3)y = 0$

$y'' + 4y' + (4 + 12)y = 0$

$y'' + 4y' + 16y = 0$

Ответ: $y'' + 4y' + 16y = 0$

28.9. Напишите однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решением которого является уравнение гармонического колебания:

1) $y = \cos(2x - 1);$

2) $y = 2\sin(2x - 3);$

3) $y = e^{2x} \cdot \sin(\sqrt{3}x - 5);$

4) $y = e^{-x} \cdot \sin(2\sqrt{2}x - 1).$

Для решения задачи воспользуемся тем фактом, что если решением однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является функция вида $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, то корни его характеристического уравнения — это комплексно-сопряженная пара чисел $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$. Само характеристическое уравнение имеет вид $k^2 - 2\alpha k + (\alpha^2 + \beta^2) = 0$, а соответствующее ему дифференциальное уравнение — $y'' - 2\alpha y' + (\alpha^2 + \beta^2)y = 0$.

1) Дано уравнение гармонического колебания $y = \cos(2x - 1)$. Это частное решение, которое соответствует общему виду $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$. Сравнивая с общей формулой $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, находим, что $\alpha = 0$ и $\beta = 2$.Следовательно, корни характеристического уравнения равны $k = \pm 2i$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(0)y' + (0^2 + 2^2)y = 0$$y'' + 4y = 0$

Ответ: $y'' + 4y = 0$.

2) Дано уравнение $y = 2\sin(2x - 3)$. Это также частное решение, соответствующее общему виду $y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$. Как и в предыдущем пункте, отсюда следует, что $\alpha = 0$ и $\beta = 2$.Корни характеристического уравнения: $k = \pm 2i$.Дифференциальное уравнение имеет тот же вид:$y'' - 2(0)y' + (0^2 + 2^2)y = 0$$y'' + 4y = 0$

Ответ: $y'' + 4y = 0$.

3) Дано уравнение $y = e^{2x} \cdot \sin(\sqrt{3}x - 5)$. Это уравнение затухающих (в данном случае, возрастающих) колебаний. Сравнивая с общей формулой $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$, находим, что $\alpha = 2$ и $\beta = \sqrt{3}$.Корни характеристического уравнения равны $k = 2 \pm i\sqrt{3}$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(2)y' + (2^2 + (\sqrt{3})^2)y = 0$$y'' - 4y' + (4 + 3)y = 0$$y'' - 4y' + 7y = 0$

Ответ: $y'' - 4y' + 7y = 0$.

4) Дано уравнение $y = e^{-x} \cdot \sin(2\sqrt{2}x - 1)$. Это уравнение затухающих колебаний. Сравнивая с общей формулой, находим, что $\alpha = -1$ и $\beta = 2\sqrt{2}$.Корни характеристического уравнения равны $k = -1 \pm i(2\sqrt{2})$.Подставляем $\alpha$ и $\beta$ в формулу дифференциального уравнения:$y'' - 2(-1)y' + ((-1)^2 + (2\sqrt{2})^2)y = 0$$y'' + 2y' + (1 + 8)y = 0$$y'' + 2y' + 9y = 0$

Ответ: $y'' + 2y' + 9y = 0$.

1. Решением дифференциального уравнения $y' = 3 - 2x - 3x^2$ является функция:

A) $y = 3x - x^2 - 3x^3 + C;$

B) $y = 3x - 2x^2 - x^3 + C;$

C) $y = 3x - x^2 - x^3 + C;$

D) $y = 3x^{-1} - x^2 - x^3 + C;$

E) $y = x - 2x^2 - x^3 + C.$

1. Чтобы найти решение дифференциального уравнения $y' = 3 - 2x - 3x^2$, необходимо найти функцию $y(x)$, производная которой равна выражению в правой части. Для этого мы должны проинтегрировать правую часть уравнения по переменной $x$.

$y = \int y' \,dx = \int (3 - 2x - 3x^2) \,dx$

Мы можем разбить интеграл на сумму интегралов от каждого слагаемого:

$y = \int 3 \,dx - \int 2x \,dx - \int 3x^2 \,dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:

1. Интеграл от константы: $\int 3 \,dx = 3x$

2. Интеграл от $-2x$: $\int (-2x) \,dx = -2 \int x^1 \,dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$

3. Интеграл от $-3x^2$: $\int (-3x^2) \,dx = -3 \int x^2 \,dx = -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$

Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную интегрирования $C$, получаем общее решение дифференциального уравнения:

$y = 3x - x^2 - x^3 + C$

Сравнивая это выражение с предложенными вариантами ответов, видим, что оно полностью совпадает с вариантом C).

Ответ: C) $y = 3x - x^2 - x^3 + C$

2. Решением дифференциального уравнения $y' = 5y$ является функция:

A) $y = 5x$;

B) $y = e^{5x} + C$;

C) $y = 3 - e^{5x}$;

D) $y = C - e^{5x}$;

E) $y = x - e^{5x}$.

Задача состоит в том, чтобы найти функцию, которая является решением дифференциального уравнения $y' = 5y$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его, чтобы найти общий вид решения.

1. Запишем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 5y$

2. Разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в одну сторону, а с $x$ — в другую:

$\frac{dy}{y} = 5 dx$

3. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1}{y} dy = \int 5 dx$

4. Вычислим интегралы:

$\ln|y| = 5x + C_1$, где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

5. Выразим $y$ из этого уравнения:

$|y| = e^{5x + C_1}$

$|y| = e^{5x} \cdot e^{C_1}$

6. Обозначим новую константу $C = \pm e^{C_1}$. Поскольку $C_1$ — произвольная вещественная константа, $e^{C_1}$ — произвольная положительная константа. Таким образом, $C$ может быть любой ненулевой константой. Также заметим, что $y=0$ является тривиальным решением уравнения, что соответствует случаю $C=0$. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

$y = Ce^{5x}$

Теперь проверим предложенные варианты ответов, подставляя каждую функцию в исходное уравнение $y' = 5y$.

A) $y = 5x$

Находим производную: $y' = (5x)' = 5$.

Подставляем в уравнение: $5 = 5(5x)$, что упрощается до $5 = 25x$. Это равенство не является тождеством, оно верно только при $x=1/5$. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

B) $y = e^{5x} + C$

Находим производную: $y' = (e^{5x} + C)' = 5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $5e^{5x} = 5(e^{5x} + C)$, что упрощается до $5e^{5x} = 5e^{5x} + 5C$.

Это равенство верно только в том случае, если $5C = 0$, то есть $C=0$. Таким образом, функция $y = e^{5x}$ является частным решением уравнения, но функция $y = e^{5x} + C$ в общем виде (для произвольной константы $C$) решением не является.

Ответ: Неверно.

C) $y = 3 - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (3 - e^{5x})' = -5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $-5e^{5x} = 5(3 - e^{5x})$, что упрощается до $-5e^{5x} = 15 - 5e^{5x}$.

Это приводит к неверному равенству $0 = 15$. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

D) $y = C - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (C - e^{5x})' = -5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $-5e^{5x} = 5(C - e^{5x})$, что упрощается до $-5e^{5x} = 5C - 5e^{5x}$.

Это равенство верно только в том случае, если $5C = 0$, то есть $C=0$. Как и в варианте B, функция является решением только в частном случае.

Ответ: Неверно.

E) $y = x - e^{5x}$

Находим производную: $y' = (x - e^{5x})' = 1 - 5e^{5x}$.

Подставляем в уравнение: $1 - 5e^{5x} = 5(x - e^{5x})$, что упрощается до $1 - 5e^{5x} = 5x - 5e^{5x}$.

Это приводит к равенству $1 = 5x$, которое не является тождеством. Следовательно, эта функция не является решением.

Ответ: Неверно.

Заключение

Строго говоря, ни один из предложенных вариантов не является правильным общим решением дифференциального уравнения. Общее решение — $y = Ce^{5x}$.

Наиболее вероятно, что в варианте B) допущена опечатка, и вместо $y = e^{5x} + C$ должно быть $y = C e^{5x}$ (или $y = e^{5x} \cdot C$). При такой замене вариант B становится верным общим решением. В задачах такого типа часто выбирают вариант, который содержит правильную функциональную часть ($e^{5x}$) и произвольную постоянную, даже если она применена некорректно (сложение вместо умножения). Исходя из этого предположения, вариант B является наиболее вероятным ответом.

Ответ: B

3. Решением дифференциального уравнения $y' = y \cos x$ является функция:

A) $y = xe^{\sin x}$;

B) $y = e^{\sin x + C}$;

C) $y = e^{-\sin x}$;

D) $y = C \cdot e^{\sin x}$;

E) $y = C \cdot e^{\cos x}$.

Данное дифференциальное уравнение $y' = y \cos x$ является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Для его решения представим производную $y'$ как $\frac{dy}{dx}$ и выполним разделение переменных.

Исходное уравнение:

$y' = y \cos x$

Заменяем $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = y \cos x$

Разделяем переменные, перенося все члены с $y$ в левую часть, а все члены с $x$ – в правую. Для этого делим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$) и умножаем на $dx$:

$\frac{1}{y} dy = \cos x \, dx$

Теперь интегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1}{y} dy = \int \cos x \, dx$

Вычисляем интегралы:

$\ln|y| = \sin x + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить $y$, потенцируем обе части уравнения (возводим $e$ в степень обеих частей):

$e^{\ln|y|} = e^{\sin x + C_1}$

$|y| = e^{\sin x} \cdot e^{C_1}$

Поскольку $e^{C_1}$ является положительной константой, мы можем заменить $\pm e^{C_1}$ на новую произвольную постоянную $C$ ($C \neq 0$). Также стоит проверить, является ли $y=0$ решением. Подстановка в исходное уравнение дает $0' = 0 \cdot \cos x$, что равно $0=0$. Следовательно, $y=0$ также является решением. Это решение можно включить в общее, если разрешить $C=0$. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y = C \cdot e^{\sin x}$

Сравнивая полученное общее решение с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом D. Проверим все варианты для полноты решения.

A) $y = xe^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = (x)'e^{\sin x} + x(e^{\sin x})' = 1 \cdot e^{\sin x} + x \cdot e^{\sin x} \cos x = e^{\sin x}(1 + x \cos x)$.

Подставим в исходное уравнение: $e^{\sin x}(1 + x \cos x) = (xe^{\sin x}) \cos x$. После сокращения на $e^{\sin x}$ получаем $1 + x \cos x = x \cos x$, что приводит к неверному равенству $1=0$.

Ответ: неверно.

B) $y = e^{2\sin x} + C$

Найдем производную: $y' = e^{2\sin x} \cdot (2\sin x)' + 0 = 2\cos x \cdot e^{2\sin x}$.

Подставим в исходное уравнение: $2\cos x \cdot e^{2\sin x} = (e^{2\sin x} + C)\cos x$. После сокращения на $\cos x$ (для $\cos x \neq 0$) получаем $2e^{2\sin x} = e^{2\sin x} + C$, что приводит к $e^{2\sin x} = C$. Это не может быть тождеством, так как левая часть зависит от $x$, а правая - константа.

Ответ: неверно.

C) $y = e^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = e^{\sin x} \cos x$.

Подставим в исходное уравнение: $e^{\sin x} \cos x = (e^{\sin x}) \cos x$. Равенство верно. Однако это частное решение, которое получается из общего решения $y = C \cdot e^{\sin x}$ при $C=1$. Вариант D является более полным, общим решением.

Ответ: является частным решением.

D) $y = C \cdot e^{\sin x}$

Найдем производную: $y' = C \cdot (e^{\sin x})' = C \cdot e^{\sin x} \cdot (\sin x)' = C e^{\sin x} \cos x$.

Подставим в исходное уравнение: $C e^{\sin x} \cos x = (C e^{\sin x}) \cos x$. Равенство верно для любой константы $C$. Это и есть общее решение уравнения.

Ответ: верно.

E) $y = C \cdot e^{\cos x}$

Найдем производную: $y' = C \cdot (e^{\cos x})' = C \cdot e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -C \sin x e^{\cos x}$.

Подставим в исходное уравнение: $-C \sin x e^{\cos x} = (C e^{\cos x}) \cos x$. После сокращения на $C e^{\cos x}$ получаем $-\sin x = \cos x$, что не является тождеством.

Ответ: неверно.

4. Найдите частное решение дифференциального уравнения $ \frac{dy}{dx} = 4xe^{-y} $

при условии $ y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0 $:

A) $ y = 4e^x $;

B) $ y = 2e^{2x} $;

C) $ y = \ln x $;

D) $ y = \ln x^2 $;

E) $ y = \ln 2x^2 $.

Данное дифференциальное уравнение $\frac{dy}{dx} = 4xe^{-y}$ является уравнением с разделяющимися переменными. Для его решения разделим переменные, переместив все члены с $y$ в левую часть, а все члены с $x$ — в правую.

$e^y dy = 4x dx$

Далее проинтегрируем обе части уравнения:

$\int e^y dy = \int 4x dx$

Выполнив интегрирование, получаем общее решение уравнения:

$e^y = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C$

$e^y = 2x^2 + C$

где $C$ — постоянная интегрирования.

Для нахождения частного решения используем начальное условие $y\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 0$. Подставляем $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $y = 0$ в общее решение:

$e^0 = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + C$

$1 = 2\left(\frac{2}{4}\right) + C$

$1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) + C$

$1 = 1 + C$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 0$

Подставляем найденное значение $C=0$ обратно в общее решение, чтобы получить частное решение:

$e^y = 2x^2$

Чтобы выразить $y$, возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства:

$\ln(e^y) = \ln(2x^2)$

$y = \ln(2x^2)$

Ответ: $y = \ln(2x^2)$

5. Для дифференциального уравнения второго порядка $y'' - 5y' + 20y = 0$

характеристическим уравнением является:

А) $2k^2 - 5k - 20 = 0;$

B) $2k^2 - 5k + 20 = 0;$

C) $k^2 - 5k + 20 = 0;$

D) $2k^2 - 5k + 10 = 0;$

E) $k^2 + 5k - 20 = 0.$

Данное уравнение, $y'' - 5y' + 20y = 0$, является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для решения таких уравнений составляют характеристическое уравнение. Это делается путем формальной замены производных функции $y$ на степени переменной $k$ соответствующего порядка: вторая производная $y''$ заменяется на $k^2$, первая производная $y'$ — на $k$, а сама функция $y$ (которую можно рассматривать как производную нулевого порядка) — на $1$ (что соответствует $k^0$).

Применяя это правило к исходному уравнению $1 \cdot y'' - 5 \cdot y' + 20 \cdot y = 0$, мы получаем следующее алгебраическое уравнение:

$1 \cdot k^2 - 5 \cdot k + 20 \cdot 1 = 0$

После упрощения выражение принимает вид:

$k^2 - 5k + 20 = 0$

Это и есть искомое характеристическое уравнение. Сравнив его с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту C).

Ответ: C) $k^2 - 5k + 20 = 0;$

6. Найдите общее решение дифференциального уравнения $y'' + 32y = 0:$

A) $y = C_1 \cos 4\sqrt{2}x + C_2 \sin 4\sqrt{2}x;$

B) $y = C_1 \cos 2\sqrt{2}x + C_2 \sin 2\sqrt{2}x;$

C) $y = C_1 \cos \sqrt{2}x + C_2 \sin \sqrt{2}x;$

D) $y = C_1 \cos 8\sqrt{2}x + C_2 \sin 8\sqrt{2}x;$

E) $y = e^x(C_1 \cos 4\sqrt{2}x + C_2 \sin 4\sqrt{2}x).$

Данное уравнение $y'' + 32y = 0$ является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения общего решения необходимо составить и решить характеристическое уравнение. Оно получается заменой производных на степени переменной $k$: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

$k^2 + 32 = 0$

Теперь найдем корни этого уравнения:

$k^2 = -32$

$k = \pm\sqrt{-32} = \pm i\sqrt{32}$

Упростим корень из 32:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, корни характеристического уравнения:

$k_{1,2} = \pm i4\sqrt{2}$

Мы получили пару чисто мнимых корней. Это частный случай комплексно-сопряженных корней вида $k = \alpha \pm i\beta$, где действительная часть $\alpha = 0$, а мнимая часть $\beta = 4\sqrt{2}$.

Общее решение дифференциального уравнения для случая комплексно-сопряженных корней записывается по формуле:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$

Подставим наши значения $\alpha=0$ и $\beta=4\sqrt{2}$ в формулу общего решения:

$y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(4\sqrt{2}x) + C_2\sin(4\sqrt{2}x))$

Поскольку $e^0 = 1$, общее решение принимает вид:

$y(x) = C_1\cos(4\sqrt{2}x) + C_2\sin(4\sqrt{2}x)$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту A.

Ответ: A) $y=C_1\cos4\sqrt{2}x+C_2\sin4\sqrt{2}x;$