Страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.1. Заполните таблицу:

Таблица 37

Дифференциальное уравнение: $y'' - 4y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $y'' - 23y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $y'' + 25y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: (пусто)

Характеристическое уравнение: $k^2 + 8k = 0$

Дифференциальное уравнение: $y'' + 6y' - 16y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: (пусто)

Характеристическое уравнение: $2k^2 - 8k + 24 = 0$

Дифференциальное уравнение: $2y'' + 4y' + 19y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Дифференциальное уравнение: $3y'' - 8y' + 28y = 0$

Характеристическое уравнение: (пусто)

Для дифференциального уравнения $y' - 4y = 0$:

Для нахождения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы заменяем производные функции $y$ на степени переменной $k$. В частности, $y'$ заменяется на $k$, а сама функция $y$ — на 1.

Исходное уравнение: $1 \cdot y' - 4 \cdot y = 0$.

После замены получаем: $1 \cdot k - 4 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k - 4 = 0$

Для дифференциального уравнения $y' - 23y = 0$:

Аналогично предыдущему случаю, производим замену $y'$ на $k$ и $y$ на 1.

Исходное уравнение: $1 \cdot y' - 23 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $1 \cdot k - 23 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k - 23 = 0$

Для дифференциального уравнения $y'' + 25y = 0$:

В этом уравнении второго порядка мы заменяем $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$ и $y$ на 1. Поскольку в уравнении отсутствует член с первой производной ($y'$), коэффициент при $k$ в характеристическом уравнении будет равен нулю.

Исходное уравнение: $1 \cdot y'' + 0 \cdot y' + 25 \cdot y = 0$.

После замены получаем: $1 \cdot k^2 + 0 \cdot k + 25 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k^2 + 25 = 0$

Для характеристического уравнения $k^2 + 8k = 0$:

Для восстановления дифференциального уравнения из характеристического, мы выполняем обратную замену: $k^2$ на $y''$, $k$ на $y'$, а постоянный член (в данном случае 0) умножается на $y$.

Исходное уравнение: $1 \cdot k^2 + 8 \cdot k + 0 = 0$.

После обратной замены получаем: $1 \cdot y'' + 8 \cdot y' + 0 \cdot y = 0$.

Ответ: $y'' + 8y' = 0$

Для дифференциального уравнения $y'' + 6y' - 16y = 0$:

Производим стандартную замену для уравнения второго порядка: $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$.

Исходное уравнение: $1 \cdot y'' + 6 \cdot y' - 16 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $1 \cdot k^2 + 6 \cdot k - 16 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $k^2 + 6k - 16 = 0$

Для характеристического уравнения $2k^2 - 8k + 24 = 0$:

Выполняем обратную замену: $k^2 \rightarrow y''$, $k \rightarrow y'$, $1 \rightarrow y$. Коэффициенты при степенях $k$ становятся коэффициентами при соответствующих производных $y$.

Исходное уравнение: $2 \cdot k^2 - 8 \cdot k + 24 = 0$.

Дифференциальное уравнение: $2 \cdot y'' - 8 \cdot y' + 24 \cdot y = 0$.

Ответ: $2y'' - 8y' + 24y = 0$

Для дифференциального уравнения $2y'' + 4y' + 19y = 0$:

Выполняем замену $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$, сохраняя коэффициенты.

Исходное уравнение: $2 \cdot y'' + 4 \cdot y' + 19 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $2 \cdot k^2 + 4 \cdot k + 19 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $2k^2 + 4k + 19 = 0$

Для дифференциального уравнения $3y'' - 8y' + 28y = 0$:

Выполняем замену $y'' \rightarrow k^2$, $y' \rightarrow k$, $y \rightarrow 1$, сохраняя коэффициенты.

Исходное уравнение: $3 \cdot y'' - 8 \cdot y' + 28 \cdot y = 0$.

Характеристическое уравнение: $3 \cdot k^2 - 8 \cdot k + 28 \cdot 1 = 0$.

Ответ: $3k^2 - 8k + 28 = 0$

28.2. Решите дифференциальные уравнения (28.2—28.4):

1) $y'' - 4y = 0;$

2) $y'' - 16y = 0;$

3) $y'' + 25y = 0;$

4) $y'' + 36y = 0.$

Все представленные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения $ay'' + by' + cy = 0$. Для их решения составляется характеристическое уравнение $ak^2 + bk + c = 0$, находятся его корни $k_1, k_2$, и в зависимости от их природы записывается общее решение.

1) Дано уравнение $y'' - 4y = 0$. Составим для него характеристическое уравнение: $k^2 - 4 = 0$. Решая это уравнение, находим его корни: $k^2 = 4$, откуда $k_{1,2} = \pm2$. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные ($k_1 = 2, k_2 = -2$), общее решение дифференциального уравнения ищется по формуле $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$. Подставляя значения корней, получаем итоговое решение, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$

2) Дано уравнение $y'' - 16y = 0$. Характеристическое уравнение имеет вид: $k^2 - 16 = 0$. Находим его корни: $k^2 = 16$, откуда $k_{1,2} = \pm4$. Корни действительные и различные ($k_1 = 4, k_2 = -4$), поэтому общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$. Подставив значения $k_1$ и $k_2$, получаем общее решение, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$

3) Дано уравнение $y'' + 25y = 0$. Составляем характеристическое уравнение: $k^2 + 25 = 0$. Находим его корни: $k^2 = -25$, откуда $k_{1,2} = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i$. Корни являются комплексно-сопряженными числами вида $k = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 5$. В этом случае общее решение ищется по формуле $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$. Подставляя наши значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$, что упрощается до итогового ответа, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x)$

4) Дано уравнение $y'' + 36y = 0$. Характеристическое уравнение для него: $k^2 + 36 = 0$. Находим корни: $k^2 = -36$, откуда $k_{1,2} = \pm\sqrt{-36} = \pm 6i$. Корни являются комплексно-сопряженными ($k = \alpha \pm i\beta$) с $\alpha = 0$ и $\beta = 6$. Общее решение для комплексных корней имеет вид $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$. Подставляя $\alpha=0$ и $\beta=6$, получаем $y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x)$

28.3. 1) $y'' - 6y' + 9y = 0;$

2) $y'' + 8y' + 16y = 0;$

3) $y'' - 2y' - 8y = 0;$

4) $y'' + 4y' - 12y = 0.$

1) Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляется характеристическое уравнение путем замены $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 6k + 9y = 0$

Данное уравнение является полным квадратом:

$(k-3)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = 3$ кратности 2. В случае кратного действительного корня $k$ общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$.

Подставляя найденный корень, получаем общее решение:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

2) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' + 8y' + 16y = 0$:

$k^2 + 8k + 16 = 0$

Это также полный квадрат:

$(k+4)^2 = 0$

Уравнение имеет один действительный корень $k = -4$ кратности 2. Общее решение для такого случая:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$

Подставляем значение корня:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-4x}$

3) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' - 2y' - 8y = 0$:

$k^2 - 2k - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна 2. Подходят корни $k_1 = 4$ и $k_2 = -2$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$.

$k_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$k_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Уравнение имеет два различных действительных корня. В этом случае общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляя найденные корни, получаем:

$y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

4) Составим и решим характеристическое уравнение для $y'' + 4y' - 12y = 0$:

$k^2 + 4k - 12 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета, произведение корней равно -12, а сумма -4. Подходят корни $k_1 = 2$ и $k_2 = -6$.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

$k_1 = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

$k_2 = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

Уравнение имеет два различных действительных корня. Общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$.

Подставляя найденные корни, получаем:

$y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-6x}$

где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: $y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-6x}$

28.4. 1) $y'' - 2y' + 10y = 0;$

2) $y'' + 8y' + 25y = 0;$

3) $y'' + 6y' + 45y = 0;$

4) $y'' - 4y' + 53y = 0.$

1) Данное уравнение $y'' - 2y' + 10y = 0$ является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для его решения составим соответствующее характеристическое уравнение, заменяя $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 2k + 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6i}{2} = 1 \pm 3i$.

Корни имеют вид $k = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 1$ и $\beta = 3$.

Общее решение дифференциального уравнения в случае комплексно-сопряженных корней находится по формуле:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляя найденные значения $\alpha = 1$ и $\beta = 3$, получаем общее решение:

$y(x) = e^{1x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

Ответ: $y(x) = e^x(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

2) Рассмотрим уравнение $y'' + 8y' + 25y = 0$. Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

$k^2 + 8k + 25 = 0$.

Найдем его корни. Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36$.

Дискриминант отрицательный, следовательно, корни комплексные.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 6i}{2} = -4 \pm 3i$.

В данном случае $\alpha = -4$ и $\beta = 3$.

Общее решение имеет вид $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляем значения $\alpha$ и $\beta$:

$y(x) = e^{-4x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

Ответ: $y(x) = e^{-4x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

3) Решим уравнение $y'' + 6y' + 45y = 0$.

Характеристическое уравнение для него:

$k^2 + 6k + 45 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 36 - 180 = -144$.

Так как $D < 0$, корни уравнения являются комплексно-сопряженными.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12i}{2} = -3 \pm 6i$.

Здесь $\alpha = -3$ и $\beta = 6$.

Используя формулу общего решения $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$, получаем:

$y(x) = e^{-3x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$.

Ответ: $y(x) = e^{-3x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$.

4) Решим уравнение $y'' - 4y' + 53y = 0$.

Соответствующее ему характеристическое уравнение:

$k^2 - 4k + 53 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 53 = 16 - 212 = -196$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 14i}{2} = 2 \pm 7i$.

Корни имеют вид $k = \alpha \pm i\beta$ с $\alpha = 2$ и $\beta = 7$.

Общее решение находится по формуле $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляем наши значения $\alpha$ и $\beta$:

$y(x) = e^{2x}(C_1\cos(7x) + C_2\sin(7x))$.

Ответ: $y(x) = e^{2x}(C_1\cos(7x) + C_2\sin(7x))$.

28.5. Решите линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

1) $y'' + 5y' - 6y = 0;$

2) $y'' - 3y' - 10y = 0;$

3) $y'' - 4y' + 12y = 0;$

4) $y'' + 8y' + 36y = 0.$

1) Для решения уравнения $y'' + 5y' - 6y = 0$ составляется характеристическое уравнение: $r^2 + 5r - 6 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$.

Корни действительные и различные: $r_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5+7}{2} = 1$ и $r_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5-7}{2} = -6$.

Поскольку корни действительные и различные, общее решение дифференциального уравнения имеет вид $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

Ответ: $y = C_1 e^x + C_2 e^{-6x}$.

2) Для уравнения $y'' - 3y' - 10y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 - 3r - 10 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

Корни действительные и различные: $r_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{3+7}{2} = 5$ и $r_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2} = \frac{3-7}{2} = -2$.

Общее решение для случая с двумя различными действительными корнями имеет вид $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$.

Ответ: $y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-2x}$.

3) Для уравнения $y'' - 4y' + 12y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 - 4r + 12 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$.

Так как $D < 0$, корни являются комплексно-сопряженными: $r_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{-32}}{2} = \frac{4 \pm i\sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4i\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2i\sqrt{2}$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm i\beta$ общее решение записывается как $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$. В данном случае $\alpha = 2$ и $\beta = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $y = e^{2x}(C_1 \cos(2\sqrt{2}x) + C_2 \sin(2\sqrt{2}x))$.

4) Для уравнения $y'' + 8y' + 36y = 0$ составляем характеристическое уравнение: $r^2 + 8r + 36 = 0$.

Находим его корни. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 64 - 144 = -80$.

Так как $D < 0$, корни являются комплексно-сопряженными: $r_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-80}}{2} = \frac{-8 \pm i\sqrt{80}}{2} = \frac{-8 \pm 4i\sqrt{5}}{2} = -4 \pm 2i\sqrt{5}$.

Для комплексных корней вида $\alpha \pm i\beta$ общее решение записывается как $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$. В данном случае $\alpha = -4$ и $\beta = 2\sqrt{5}$.

Ответ: $y = e^{-4x}(C_1 \cos(2\sqrt{5}x) + C_2 \sin(2\sqrt{5}x))$.

28.6. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y'' - 6y' + 9y = 0$ при условии $y(0) = 1, y(1) = 2;$

2) $y'' + 2y' + y = 0$ при условии $y(0) = 3, y(1) = 4;$

3) $y'' - y' - 2y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 1;$

4) $y'' - 2y' - 8y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 0.$

1) $y'' - 6y' + 9y = 0$ при условии $y(0) = 1, y(1) = 2$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - 6k + 9 = 0$

Это полный квадрат:

$(k - 3)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $k_1 = k_2 = 3$.

В случае кратных корней общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$

В нашем случае:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{3x}$

Теперь используем начальные условия для нахождения постоянных $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 1$:

$1 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{3 \cdot 0}$

$1 = C_1 \cdot e^0$

$C_1 = 1$

Из условия $y(1) = 2$:

$2 = (C_1 + C_2 \cdot 1)e^{3 \cdot 1}$

$2 = (C_1 + C_2)e^3$

Подставим найденное значение $C_1 = 1$:

$2 = (1 + C_2)e^3$

$2e^{-3} = 1 + C_2$

$C_2 = 2e^{-3} - 1$

Подставляем найденные константы $C_1$ и $C_2$ в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = (1 + (2e^{-3} - 1)x)e^{3x}$

Ответ: $y(x) = (1 + (2e^{-3} - 1)x)e^{3x}$

2) $y'' + 2y' + y = 0$ при условии $y(0) = 3, y(1) = 4$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 2k + 1 = 0$

Это полный квадрат:

$(k + 1)^2 = 0$

Уравнение имеет один кратный корень $k_1 = k_2 = -1$.

Общее решение имеет вид:

$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 3$:

$3 = (C_1 + C_2 \cdot 0)e^{-0}$

$3 = C_1 \cdot 1$

$C_1 = 3$

Из условия $y(1) = 4$:

$4 = (C_1 + C_2 \cdot 1)e^{-1}$

$4 = (C_1 + C_2)e^{-1}$

Подставим $C_1 = 3$:

$4 = (3 + C_2)e^{-1}$

$4e = 3 + C_2$

$C_2 = 4e - 3$

Подставляем найденные константы в общее решение:

$y(x) = (3 + (4e - 3)x)e^{-x}$

Ответ: $y(x) = (3 + (4e - 3)x)e^{-x}$

3) $y'' - y' - 2y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 1$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - k - 2 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

$k_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$

$k_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$

Корни действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$

$y(x) = C_1e^{2x} + C_2e^{-x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 2$:

$2 = C_1e^{2 \cdot 0} + C_2e^{-0}$

$2 = C_1 + C_2$

Из условия $y(1) = 1$:

$1 = C_1e^{2 \cdot 1} + C_2e^{-1}$

$1 = C_1e^2 + C_2e^{-1}$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1e^2 + C_2e^{-1} = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $C_2 = 2 - C_1$ и подставим во второе:

$1 = C_1e^2 + (2 - C_1)e^{-1}$

$1 = C_1e^2 + 2e^{-1} - C_1e^{-1}$

$1 - 2e^{-1} = C_1(e^2 - e^{-1})$

$C_1 = \frac{1 - 2e^{-1}}{e^2 - e^{-1}} = \frac{e(1 - 2e^{-1})}{e(e^2 - e^{-1})} = \frac{e - 2}{e^3 - 1}$

Теперь найдем $C_2$:

$C_2 = 2 - C_1 = 2 - \frac{e - 2}{e^3 - 1} = \frac{2(e^3 - 1) - (e - 2)}{e^3 - 1} = \frac{2e^3 - 2 - e + 2}{e^3 - 1} = \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}$

Подставляем константы в общее решение:

$y(x) = \frac{e - 2}{e^3 - 1}e^{2x} + \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}e^{-x}$

Ответ: $y(x) = \frac{e - 2}{e^3 - 1}e^{2x} + \frac{2e^3 - e}{e^3 - 1}e^{-x}$

4) $y'' - 2y' - 8y = 0$ при условии $y(0) = 2, y(1) = 0$

Составим характеристическое уравнение:

$k^2 - 2k - 8 = 0$

Найдем корни:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$k_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$k_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корни действительные и различные, поэтому общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1e^{4x} + C_2e^{-2x}$

Используем начальные условия для нахождения $C_1$ и $C_2$.

Из условия $y(0) = 2$:

$2 = C_1e^{4 \cdot 0} + C_2e^{-2 \cdot 0}$

$2 = C_1 + C_2$

Из условия $y(1) = 0$:

$0 = C_1e^{4 \cdot 1} + C_2e^{-2 \cdot 1}$

$0 = C_1e^4 + C_2e^{-2}$

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 2 \\ C_1e^4 + C_2e^{-2} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $C_2 = 2 - C_1$. Подставим во второе:

$0 = C_1e^4 + (2 - C_1)e^{-2}$

$0 = C_1e^4 + 2e^{-2} - C_1e^{-2}$

$-2e^{-2} = C_1(e^4 - e^{-2})$

$C_1 = \frac{-2e^{-2}}{e^4 - e^{-2}} = \frac{e^2(-2e^{-2})}{e^2(e^4 - e^{-2})} = \frac{-2}{e^6 - 1}$

Теперь найдем $C_2$:

$C_2 = 2 - C_1 = 2 - \left(\frac{-2}{e^6 - 1}\right) = 2 + \frac{2}{e^6 - 1} = \frac{2(e^6 - 1) + 2}{e^6 - 1} = \frac{2e^6 - 2 + 2}{e^6 - 1} = \frac{2e^6}{e^6 - 1}$

Подставляем константы в общее решение:

$y(x) = \frac{-2}{e^6 - 1}e^{4x} + \frac{2e^6}{e^6 - 1}e^{-2x} = \frac{2}{e^6 - 1}(-e^{4x} + e^6e^{-2x})$

Ответ: $y(x) = \frac{2}{e^6 - 1}(e^{6-2x} - e^{4x})$

28.7. Найдите частное решение дифференциального уравнения:

1) $y'' + y = 0$ при условии $y(0) = 1$, $y(\frac{\pi}{2}) = 2$;

2) $y'' + 16y = 0$ при условии $y(0) = 2$, $y(\frac{\pi}{8}) = -1$.

1) Дано дифференциальное уравнение $y'' + y = 0$ с условиями $y(0) = 1$ и $y(\frac{\pi}{2}) = 2$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение:

$k^2 + 1 = 0$

Находим корни этого уравнения:

$k^2 = -1$

$k_{1,2} = \pm \sqrt{-1} = \pm i$

Корни являются чисто мнимыми, что является частным случаем комплексных корней $\alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 1$. Общее решение дифференциального уравнения в таком случае имеет вид:

$y(x) = C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)$

Подставив значение $\beta = 1$, получаем общее решение для нашего уравнения:

$y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)$

Теперь необходимо найти константы $C_1$ и $C_2$, используя заданные условия. Это называется решением задачи Коши.

Используем первое условие $y(0) = 1$:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 1$

$C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 1$

$C_1 = 1$

Теперь используем второе условие $y(\frac{\pi}{2}) = 2$ и уже найденное значение $C_1 = 1$:

$y(\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(\frac{\pi}{2}) = 2$

$1 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = 2$

$C_2 = 2$

Найдены значения констант: $C_1 = 1$ и $C_2 = 2$. Подставляем их в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 1 \cdot \cos(x) + 2 \cdot \sin(x)$

Ответ: $y(x) = \cos(x) + 2\sin(x)$

2) Дано дифференциальное уравнение $y'' + 16y = 0$ с условиями $y(0) = 2$ и $y(\frac{\pi}{8}) = -1$.

Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение:

$k^2 + 16 = 0$

Находим корни:

$k^2 = -16$

$k_{1,2} = \pm \sqrt{-16} = \pm 4i$

Корни являются чисто мнимыми с $\beta = 4$. Общее решение уравнения имеет вид:

$y(x) = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)$

Теперь используем заданные условия для нахождения постоянных $C_1$ и $C_2$.

Используем первое условие $y(0) = 2$:

$y(0) = C_1 \cos(4 \cdot 0) + C_2 \sin(4 \cdot 0) = 2$

$C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 2$

$C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 2$

$C_1 = 2$

Используем второе условие $y(\frac{\pi}{8}) = -1$ и найденное значение $C_1 = 2$:

$y(\frac{\pi}{8}) = 2 \cos(4 \cdot \frac{\pi}{8}) + C_2 \sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = -1$

$2 \cos(\frac{\pi}{2}) + C_2 \sin(\frac{\pi}{2}) = -1$

$2 \cdot 0 + C_2 \cdot 1 = -1$

$C_2 = -1$

Найдены значения констант: $C_1 = 2$ и $C_2 = -1$. Подставляем их в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 2\cos(4x) - 1 \cdot \sin(4x)$

Ответ: $y(x) = 2\cos(4x) - \sin(4x)$