Номер 28.2, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.2. Решите дифференциальные уравнения (28.2—28.4):

1) $y'' - 4y = 0;$

2) $y'' - 16y = 0;$

3) $y'' + 25y = 0;$

4) $y'' + 36y = 0.$

Все представленные уравнения являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Общий вид такого уравнения $ay'' + by' + cy = 0$. Для их решения составляется характеристическое уравнение $ak^2 + bk + c = 0$, находятся его корни $k_1, k_2$, и в зависимости от их природы записывается общее решение.

1) Дано уравнение $y'' - 4y = 0$. Составим для него характеристическое уравнение: $k^2 - 4 = 0$. Решая это уравнение, находим его корни: $k^2 = 4$, откуда $k_{1,2} = \pm2$. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные ($k_1 = 2, k_2 = -2$), общее решение дифференциального уравнения ищется по формуле $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$. Подставляя значения корней, получаем итоговое решение, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1e^{2x} + C_2e^{-2x}$

2) Дано уравнение $y'' - 16y = 0$. Характеристическое уравнение имеет вид: $k^2 - 16 = 0$. Находим его корни: $k^2 = 16$, откуда $k_{1,2} = \pm4$. Корни действительные и различные ($k_1 = 4, k_2 = -4$), поэтому общее решение имеет вид $y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$. Подставив значения $k_1$ и $k_2$, получаем общее решение, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1e^{4x} + C_2e^{-4x}$

3) Дано уравнение $y'' + 25y = 0$. Составляем характеристическое уравнение: $k^2 + 25 = 0$. Находим его корни: $k^2 = -25$, откуда $k_{1,2} = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i$. Корни являются комплексно-сопряженными числами вида $k = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 5$. В этом случае общее решение ищется по формуле $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$. Подставляя наши значения $\alpha$ и $\beta$, получаем: $y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$, что упрощается до итогового ответа, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x)$

4) Дано уравнение $y'' + 36y = 0$. Характеристическое уравнение для него: $k^2 + 36 = 0$. Находим корни: $k^2 = -36$, откуда $k_{1,2} = \pm\sqrt{-36} = \pm 6i$. Корни являются комплексно-сопряженными ($k = \alpha \pm i\beta$) с $\alpha = 0$ и $\beta = 6$. Общее решение для комплексных корней имеет вид $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$. Подставляя $\alpha=0$ и $\beta=6$, получаем $y(x) = e^{0 \cdot x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$, где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Ответ: $y = C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x)$