Номер 27.12, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.12. 1) От $m$ миллиграммов радиоактивного вещества C через 20 мин радиоактивного распада осталось $n$ миллиграммов. Найдите период полураспада радиоактивного вещества C.

2) Имеется 1 г радиоактивного вещества А. Через сколько минут его масса станет равной 0,125 г, если период полураспада А равен 3 мин?

1)

Закон радиоактивного распада описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

где $N(t)$ — масса вещества в момент времени $t$, $N_0$ — начальная масса вещества, $t$ — прошедшее время, $T$ — период полураспада.

По условию задачи имеем:

$N_0 = m$ мг (начальная масса)

$N(t) = n$ мг (масса через 20 минут)

$t = 20$ мин (прошедшее время)

Подставим эти значения в формулу:

$n = m \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}$

Наша цель — найти период полураспада $T$. Выразим его из этого уравнения.

Разделим обе части уравнения на $m$:

$\frac{n}{m} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = \log_2\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{T}}\right)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = \frac{20}{T} \cdot \log_2\left(\frac{1}{2}\right)$

Так как $\log_2\left(\frac{1}{2}\right) = \log_2(2^{-1}) = -1$, уравнение принимает вид:

$\log_2\left(\frac{n}{m}\right) = -\frac{20}{T}$

Теперь выразим $T$:

$T = -\frac{20}{\log_2\left(\frac{n}{m}\right)}$

Используя свойство логарифма $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = -\log_a\left(\frac{y}{x}\right)$, можем переписать знаменатель:

$T = -\frac{20}{-\log_2\left(\frac{m}{n}\right)} = \frac{20}{\log_2\left(\frac{m}{n}\right)}$

Ответ: Период полураспада радиоактивного вещества C равен $T = \frac{20}{\log_2(m/n)}$ минут.

2)

Используем ту же формулу радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

По условию задачи имеем:

$N_0 = 1$ г (начальная масса)

$N(t) = 0,125$ г (конечная масса)

$T = 3$ мин (период полураспада)

Нужно найти время $t$, через которое масса вещества станет равной 0,125 г.

Подставим известные значения в формулу:

$0,125 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}$

Преобразуем десятичную дробь 0,125 в обыкновенную:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$

Теперь представим $\frac{1}{8}$ как степень числа $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

Подставим это в наше уравнение:

$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{3}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$3 = \frac{t}{3}$

Отсюда находим $t$:

$t = 3 \cdot 3 = 9$

Таким образом, масса вещества станет равной 0,125 г через 9 минут.

Ответ: 9 минут.