Номер 27.8, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.8. В поселке с населением 3000 человек распространение эпидемии гриппа (без применения экстренных мер) описывается следующим

уравнением $\frac{dy}{dt} = 0,001y(3000 - y)$, где $y$ — число заболевших в

момент времени $t$, $t$ — число недель. Найдите число больных в

поселке через две недели, если в начальный момент было трое больных ($e \approx 2,72$)?

Данная задача описывается логистическим дифференциальным уравнением, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

$\frac{dy}{dt} = 0.001y(3000 - y)$

где $y$ — число заболевших, а $t$ — время в неделях. Для нахождения зависимости числа заболевших от времени $y(t)$ необходимо решить это уравнение.

Сначала разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в левую часть, а с $t$ — в правую:

$\frac{dy}{y(3000 - y)} = 0.001 dt$

Далее проинтегрируем обе части уравнения. Интеграл в левой части находится с помощью разложения подынтегральной функции на простейшие дроби:

$\frac{1}{y(3000 - y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{3000 - y}$

Приводя к общему знаменателю, получаем тождество: $1 = A(3000 - y) + By$.

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$, подставим удобные значения $y$.

При $y = 0$: $1 = A(3000 - 0)$, откуда $A = \frac{1}{3000}$.

При $y = 3000$: $1 = B \cdot 3000$, откуда $B = \frac{1}{3000}$.

Таким образом, выражение для интегрирования принимает вид:

$\int \frac{1}{3000}\left(\frac{1}{y} + \frac{1}{3000 - y}\right)dy = \int 0.001 dt$

Выполним интегрирование:

$\frac{1}{3000}\left(\ln|y| - \ln|3000 - y|\right) = 0.001t + C_1$

Умножим обе части на 3000 и объединим константы ($C = 3000C_1$):

$\ln\left|\frac{y}{3000 - y}\right| = 3t + C$

Поскольку $y$ представляет собой число больных в поселке с населением 3000, то $0 < y < 3000$, поэтому знаки модуля можно опустить.

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) = 3t + C$

Теперь используем начальное условие: в момент $t=0$ число больных составляло $y=3$. Подставим эти значения, чтобы найти константу $C$:

$\ln\left(\frac{3}{3000 - 3}\right) = 3 \cdot 0 + C \implies C = \ln\left(\frac{3}{2997}\right) = \ln\left(\frac{1}{999}\right)$

Подставим найденное значение $C$ в общее решение:

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) = 3t + \ln\left(\frac{1}{999}\right)$

Выразим $y$ из этого уравнения. Для этого преобразуем его:

$\ln\left(\frac{y}{3000 - y}\right) - \ln\left(\frac{1}{999}\right) = 3t \implies \ln\left(\frac{999y}{3000 - y}\right) = 3t$

Потенцируя обе части, получаем:

$\frac{999y}{3000 - y} = e^{3t}$

$999y = (3000 - y)e^{3t} \implies 999y + ye^{3t} = 3000e^{3t} \implies y(999 + e^{3t}) = 3000e^{3t}$

Отсюда получаем явную зависимость $y$ от $t$:

$y(t) = \frac{3000e^{3t}}{999 + e^{3t}}$

Для удобства вычислений разделим числитель и знаменатель на $e^{3t}$:

$y(t) = \frac{3000}{1 + 999e^{-3t}}$

По условию задачи, требуется найти число больных через две недели, то есть при $t=2$:

$y(2) = \frac{3000}{1 + 999e^{-3 \cdot 2}} = \frac{3000}{1 + 999e^{-6}}$

Используем данное в условии приближение $e \approx 2.72$. Вычислим $e^6$:

$e^6 \approx (2.72)^6 \approx 405.15$.

Для упрощения дальнейших расчетов примем $e^6 \approx 405$. Это значение позволяет значительно упростить дробь:

$y(2) \approx \frac{3000}{1 + \frac{999}{405}} = \frac{3000}{1 + \frac{111 \cdot 9}{45 \cdot 9}} = \frac{3000}{1 + \frac{111}{45}} = \frac{3000}{1 + \frac{37 \cdot 3}{15 \cdot 3}} = \frac{3000}{1 + \frac{37}{15}}$

$y(2) \approx \frac{3000}{\frac{15 + 37}{15}} = \frac{3000}{\frac{52}{15}} = \frac{3000 \cdot 15}{52} = \frac{45000}{52} = \frac{11250}{13}$

$y(2) \approx 865.38$

Так как число больных людей — это целое число, округляем полученный результат до ближайшего целого.Ответ: 865.