Номер 27.9, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.9. В комнате при температуре в 20° С некоторое тело остывает за 20 мин от 100° С до 60° С. Найдите закон охлаждения тела. Через сколько минут тело остынет до 30° С? (Температура в комнате не изменяется. По закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур)?

Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Это можно выразить с помощью дифференциального уравнения:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$

где:

• $T(t)$ – температура тела в момент времени $t$,
• $T_a$ – температура окружающей среды (комнаты),
• $k$ – коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств тела и условий теплообмена.

По условию задачи, температура в комнате $T_a = 20^\circ$ C. Уравнение принимает вид:

$\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:

$\frac{dT}{T - 20} = -k \, dt$

Интегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dT}{T - 20} = \int -k \, dt$

$\ln(T - 20) = -kt + C_1$

где $C_1$ – константа интегрирования. Выразим $T$:

$T - 20 = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} \cdot e^{-kt}$

Обозначим $C = e^{C_1}$ (новая константа) и получим общее решение:

$T(t) = 20 + C e^{-kt}$

Теперь используем начальные условия для нахождения констант $C$ и $k$.

В начальный момент времени $t=0$ температура тела была $T(0) = 100^\circ$ C.

$100 = 20 + C e^{-k \cdot 0}$

$100 = 20 + C \cdot 1$

$C = 80$

Таким образом, закон охлаждения принимает вид:

$T(t) = 20 + 80 e^{-kt}$

Найдите закон охлаждения тела.

Чтобы найти закон охлаждения полностью, нам нужно определить коэффициент $k$. Мы знаем, что через 20 минут ($t=20$) температура тела стала $T(20) = 60^\circ$ C. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$60 = 20 + 80 e^{-k \cdot 20}$

$40 = 80 e^{-20k}$

$\frac{40}{80} = e^{-20k}$

$0.5 = e^{-20k}$

Прологарифмируем обе части по основанию $e$:

$\ln(0.5) = -20k$

$\ln(\frac{1}{2}) = -20k$

$-\ln(2) = -20k$

$k = \frac{\ln(2)}{20}$

Теперь подставим найденное значение $k$ в уравнение для $T(t)$:

$T(t) = 20 + 80 e^{-(\frac{\ln(2)}{20})t}$

Это выражение можно упростить, используя свойство степеней $a^{xy} = (a^x)^y$ и $e^{\ln x} = x$:

$e^{-(\frac{\ln(2)}{20})t} = (e^{\ln(2)})^{-\frac{t}{20}} = 2^{-\frac{t}{20}}$

Итак, окончательный вид закона охлаждения тела:

$T(t) = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$

где $t$ измеряется в минутах.

Ответ: Закон охлаждения тела описывается формулой $T(t) = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$, где $t$ – время в минутах.

Через сколько минут тело остынет до 30° C?

Используем найденный закон охлаждения, чтобы найти время $t$, при котором температура тела $T(t)$ будет равна $30^\circ$ C.

$30 = 20 + 80 \cdot 2^{-t/20}$

Вычтем 20 из обеих частей:

$10 = 80 \cdot 2^{-t/20}$

Разделим обе части на 80:

$\frac{10}{80} = 2^{-t/20}$

$\frac{1}{8} = 2^{-t/20}$

Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

$2^{-3} = 2^{-t/20}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-3 = -\frac{t}{20}$

$3 = \frac{t}{20}$

$t = 3 \cdot 20 = 60$

Таким образом, тело остынет до $30^\circ$ C через 60 минут.

Ответ: Тело остынет до 30° C через 60 минут.