Номер 27.6, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.6. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) $y' = 2x\cos^2y;$

2) $y' = 4x\sin^2y;$

3) $y' = e^{2x} + 4x;$

4) $y' = \frac{1+y^2}{1+x^2}.$

1)

Данное уравнение $y' = 2x\cos^2y$ является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Запишем производную $y'$ как $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 2x\cos^2y$

Разделим переменные. Для этого перенесем все слагаемые, содержащие $y$, в левую часть, а слагаемые, содержащие $x$, в правую. Это возможно при условии, что $\cos^2y \neq 0$.

$\frac{dy}{\cos^2y} = 2x dx$

Теперь проинтегрируем обе части полученного уравнения:

$\int \frac{dy}{\cos^2y} = \int 2x dx$

Левый интеграл является табличным: $\int \frac{dy}{\cos^2y} = \tan y$.

Правый интеграл: $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Приравнивая результаты интегрирования, получаем общее решение:

$\tan y = x^2 + C$

Необходимо также рассмотреть случай, когда деление было невозможно, то есть $\cos^2y = 0$. Это уравнение имеет решения $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — любое целое число. Подставив эти значения в исходное уравнение, получим $y' = (\frac{\pi}{2} + k\pi)' = 0$. Правая часть уравнения $2x\cos^2(\frac{\pi}{2} + k\pi) = 2x \cdot 0 = 0$. Так как $0=0$, функции $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$ также являются решениями (особыми решениями).

Ответ: $\tan y = x^2 + C$, где $C$ – произвольная постоянная; $y = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2)

Уравнение $y' = 4x\sin^2y$ также является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим $y'$ на $\frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 4x\sin^2y$

Разделяем переменные, предполагая, что $\sin^2y \neq 0$:

$\frac{dy}{\sin^2y} = 4x dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{\sin^2y} = \int 4x dx$

Вычисляем интегралы: $\int \frac{dy}{\sin^2y} = -\cot y$ и $\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = 2x^2 + C_1$.

Получаем: $-\cot y = 2x^2 + C_1$.

Умножая на -1 и обозначая $-C_1$ как новую произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$\cot y = -2x^2 + C$

Рассмотрим случай $\sin^2y = 0$, то есть $y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Производная $y' = (k\pi)' = 0$. Правая часть исходного уравнения $4x\sin^2(k\pi) = 4x \cdot 0 = 0$. Следовательно, $y = k\pi$ являются особыми решениями.

Ответ: $\cot y = C - 2x^2$, где $C$ – произвольная постоянная; $y = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3)

Уравнение $y' = e^{2x} + 4x$ является простейшим дифференциальным уравнением, правая часть которого зависит только от $x$. Для нахождения общего решения нужно проинтегрировать правую часть по $x$.

$y = \int (e^{2x} + 4x) dx$

Используем свойство линейности интеграла:

$y = \int e^{2x} dx + \int 4x dx$

Вычисляем каждый интеграл по отдельности:

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int 4x dx = 4\frac{x^2}{2} = 2x^2$

Суммируя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общее решение:

$y = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x^2 + C$

Ответ: $y = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x^2 + C$.

4)

Уравнение $y' = \frac{1+y^2}{1+x^2}$ является уравнением с разделяющимися переменными.

$\frac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{1+x^2}$

Разделяем переменные. Отметим, что выражение $1+y^2$ всегда больше нуля, поэтому деление на него не приводит к потере решений.

$\frac{dy}{1+y^2} = \frac{dx}{1+x^2}$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int \frac{dx}{1+x^2}$

Оба интеграла являются табличными и равны арктангенсам:

$\arctan y = \arctan x + C$

где $C$ — произвольная постоянная. Это и есть общее решение, представленное в неявном виде.

Ответ: $\arctan y = \arctan x + C$.