Номер 27.7, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.7. 1) Докажите, что функция $y = 5e^{3x}$ является решением уравнения $y' = -2y$.

2) Докажите, что функция $y = 1,7e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$.

3) Докажите, что функция $y = \pi e^{-5x}$ является решением уравнения $y' = -5y$.

1) Чтобы доказать, что функция $y = 5e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$, необходимо найти производную данной функции и подставить её и саму функцию в уравнение, чтобы проверить, выполняется ли равенство.

Найдем производную $y'$ от функции $y = 5e^{-2x}$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = (5e^{-2x})' = 5 \cdot (e^{-2x})' = 5 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -10e^{-2x}$.

Теперь подставим полученные выражения для $y'$ и $y$ в левую и правую части уравнения $y' = -2y$.

Левая часть: $y' = -10e^{-2x}$.

Правая часть: $-2y = -2 \cdot (5e^{-2x}) = -10e^{-2x}$.

Поскольку левая и правая части уравнения равны ($-10e^{-2x} = -10e^{-2x}$), тождество выполняется. Это доказывает, что функция $y = 5e^{-2x}$ является решением данного уравнения.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что функция $y = 1,7e^{-2x}$ является решением уравнения $y' = -2y$, проделаем аналогичные шаги.

Находим производную $y'$ от функции $y = 1,7e^{-2x}$:

$y' = (1,7e^{-2x})' = 1,7 \cdot (e^{-2x})' = 1,7 \cdot e^{-2x} \cdot (-2) = -3,4e^{-2x}$.

Подставляем $y'$ и $y$ в уравнение $y' = -2y$.

Левая часть: $y' = -3,4e^{-2x}$.

Правая часть: $-2y = -2 \cdot (1,7e^{-2x}) = -3,4e^{-2x}$.

Левая и правая части равны, следовательно, данная функция является решением уравнения.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что функция $y = \pi e^{-5x}$ является решением уравнения $y' = -5y$, найдем ее производную и подставим в уравнение.

Находим производную $y'$ от функции $y = \pi e^{-5x}$:

$y' = (\pi e^{-5x})' = \pi \cdot (e^{-5x})' = \pi \cdot e^{-5x} \cdot (-5) = -5\pi e^{-5x}$.

Подставляем $y'$ и $y$ в уравнение $y' = -5y$.

Левая часть: $y' = -5\pi e^{-5x}$.

Правая часть: $-5y = -5 \cdot (\pi e^{-5x}) = -5\pi e^{-5x}$.

Поскольку левая и правая части уравнения совпали, функция является решением уравнения.

Ответ: Доказано.