Номер 27.3, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.3. Найдите общее решение дифференциального уравнения:

1) $y' = y;$

2) $y' = 2x \cdot y;$

3) $y' = 2x - 3;$

4) $y' = 3x^2 + 2x - \pi.$

1)Дано дифференциальное уравнение первого порядка $y' = y$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Запишем производную в виде Лейбница: $y' = \frac{dy}{dx}$.

$\frac{dy}{dx} = y$

Разделим переменные, перенеся все члены с $y$ в левую часть, а с $x$ – в правую (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{dy}{y} = \int dx$

$\ln|y| = x + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы выразить $y$, потенцируем обе части уравнения (берем экспоненту):

$|y| = e^{x+C_1} = e^x \cdot e^{C_1}$

Обозначим новую константу $C = \pm e^{C_1}$. Поскольку $y=0$ также является решением исходного уравнения, константа $C$ может быть любым действительным числом. Таким образом, общее решение имеет вид:

$y = Ce^x$

Ответ: $y = Ce^x$

2)Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x \cdot y$.

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Запишем $y' = \frac{dy}{dx}$:

$\frac{dy}{dx} = 2xy$

Разделим переменные (при условии, что $y \neq 0$):

$\frac{dy}{y} = 2x \, dx$

Интегрируем обе части:

$\int \frac{dy}{y} = \int 2x \, dx$

$\ln|y| = x^2 + C_1$, где $C_1$ – произвольная постоянная.

Выразим $y$, потенцируя обе части:

$|y| = e^{x^2+C_1} = e^{x^2} \cdot e^{C_1}$

Аналогично предыдущему пункту, заменим $\pm e^{C_1}$ на произвольную постоянную $C$. Решение $y=0$ также подходит. Общее решение:

$y = Ce^{x^2}$

Ответ: $y = Ce^{x^2}$

3)Дано дифференциальное уравнение $y' = 2x - 3$.

В этом уравнении правая часть зависит только от $x$. Чтобы найти $y$, нужно просто проинтегрировать правую часть по $x$.

$y = \int (2x - 3) \, dx$

Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы:

$y = \int 2x \, dx - \int 3 \, dx$

$y = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$

$y = x^2 - 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $y = x^2 - 3x + C$

4)Дано дифференциальное уравнение $y' = 3x^2 + 2x - \pi$.

Это уравнение решается прямым интегрированием, так как правая часть зависит только от $x$.

$y = \int (3x^2 + 2x - \pi) \, dx$

Интегрируем почленно:

$y = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int \pi \, dx$

$y = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \pi x + C$

$y = x^3 + x^2 - \pi x + C$, где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $y = x^3 + x^2 - \pi x + C$