Номер 27.2, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.2. Заполните таблицу:

Таблица 35

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

$yy' = x - 1$

$xy' = (x^2 + x)y$

$ydy = (2x^2 - x + 3)dx$

$x^2dy = 2dx$

$ydy = (x^2 - x)(1 + y^2)dx$

$(y + 1)dy = (3x^2 - 2x)dx$

$dy = xe^xdx$

Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно привести к виду $f(y)dy = g(x)dx$. Чтобы разделить переменные, представим производную $y'$ как отношение дифференциалов $\frac{dy}{dx}$:

$y \frac{dy}{dx} = x - 1$

Далее, умножим обе части уравнения на $dx$, чтобы сгруппировать все члены, содержащие $y$, с $dy$ и все члены, содержащие $x$, с $dx$.

$y dy = (x - 1) dx$

В полученном уравнении переменные разделены, так как левая часть зависит только от $y$, а правая — только от $x$. Это и есть искомое уравнение с разделенными переменными.

Ответ: Исходное уравнение $yy' = x - 1$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $y dy = (x - 1) dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим $y' = \frac{dy}{dx}$:

$x \frac{dy}{dx} = (x^2 + x)y$

Для разделения переменных сгруппируем все члены с $y$ в левой части, а с $x$ — в правой. Для этого разделим обе части на $x$ и на $y$ (при $x \neq 0, y \neq 0$) и умножим на $dx$.

$\frac{dy}{y} = \frac{x^2 + x}{x} dx$

Упростим выражение в правой части, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{dy}{y} = (x + 1) dx$

В полученном уравнении переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $xy' = (x^2 + x)y$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $\frac{dy}{y} = (x + 1) dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Выражение с переменной $y$, а именно $y dy$, находится в левой части, а выражение с переменной $x$, а именно $(2x^2 - x + 3)dx$, — в правой. Уравнение имеет вид $f(y)dy = g(x)dx$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $ydy = (2x^2 - x + 3)dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Хотя дифференциалы $dy$ и $dx$ находятся в разных частях уравнения, в левой части присутствует множитель $x^2$, зависящий от $x$.

Чтобы разделить переменные, необходимо перенести все члены с $x$ в правую часть. Для этого разделим обе части уравнения на $x^2$ (при $x \neq 0$):

$dy = \frac{2}{x^2} dx$

Теперь переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $x^2dy = 2dx$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $dy = \frac{2}{x^2} dx$.

Это уравнение с разделяющимися переменными. В правой части уравнения присутствует множитель $(1 + y^2)$, который зависит от $y$.

Для разделения переменных необходимо перенести все члены с $y$ в левую часть. Для этого разделим обе части на $(1 + y^2)$ (это выражение всегда больше нуля, поэтому деление корректно):

$\frac{y}{1 + y^2} dy = (x^2 - x) dx$

Теперь переменные разделены.

Ответ: Исходное уравнение $ydy = (x^2 - x)(1 + y^2)dx$ является уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение с разделенными переменными имеет вид: $\frac{y}{1 + y^2} dy = (x^2 - x) dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Выражение с переменной $y$, а именно $(y + 1)dy$, находится в левой части, а выражение с переменной $x$, а именно $(3x^2 - 2x)dx$, — в правой. Уравнение соответствует виду $f(y)dy = g(x)dx$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $(y + 1)dy = (3x^2 - 2x)dx$.

В данном уравнении переменные уже разделены. Левая часть зависит только от $y$ (можно представить как $1 \cdot dy$), а правая — только от $x$ ($xe^x dx$). Уравнение соответствует виду $f(y)dy = g(x)dx$, где $f(y)=1$.

Ответ: Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделенными переменными: $dy = xe^x dx$.