Номер 27.14, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.14. Найдите первообразную для функции:

1) $f(x)=\frac{2}{\cos^2 x} + 2x;$

2) $f(x)=\frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x};$

3) $f(x)=\frac{4x}{x^2+1} + e^{-x};$

4) $f(x)=\frac{2\ln x}{x} - 2e^{x}.$

1) Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} + 2x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная для суммы функций равна сумме первообразных, поэтому:

$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 x} + 2x) dx = \int \frac{2}{\cos^2 x} dx + \int 2x dx$

Используем таблицу основных интегралов:

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C_1$

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C_2$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int \frac{2}{\cos^2 x} dx = 2 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 2\tan x$

$\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \frac{x^2}{2} = x^2$

Складывая результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = 2\tan x + x^2 + C$

Ответ: $F(x) = 2\tan x + x^2 + C$

2) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x}$.

$F(x) = \int (\frac{4}{\sin^2 2x} + e^{4x}) dx = \int \frac{4}{\sin^2 2x} dx + \int e^{4x} dx$

Для интегрирования сложных функций вида $g(kx+b)$ используется правило $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k} G(kx+b) + C$, где $G$ - первообразная для $g$.

Для первого слагаемого: первообразная для $\frac{1}{\sin^2 u}$ есть $-\cot u$. В нашем случае $u=2x$, поэтому $k=2$.

$\int \frac{4}{\sin^2 2x} dx = 4 \int \frac{1}{\sin^2 2x} dx = 4 \cdot (\frac{1}{2} (-\cot 2x)) = -2\cot 2x$

Для второго слагаемого: первообразная для $e^u$ есть $e^u$. В нашем случае $u=4x$, поэтому $k=4$.

$\int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x}$

Суммируя полученные выражения и добавляя константу $C$, находим первообразную:

$F(x) = -2\cot 2x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$

Ответ: $F(x) = -2\cot 2x + \frac{1}{4}e^{4x} + C$

3) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1} + e^{-x}$.

$F(x) = \int (\frac{4x}{x^2 + 1} + e^{-x}) dx = \int \frac{4x}{x^2 + 1} dx + \int e^{-x} dx$

Рассмотрим первый интеграл $\int \frac{4x}{x^2 + 1} dx$. Вынесем константу 2 за знак интеграла: $2 \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx$.

Заметим, что числитель $2x$ является производной знаменателя $x^2+1$. Используем формулу $\int \frac{u'(x)}{u(x)} dx = \ln|u(x)| + C$. Поскольку $x^2+1 > 0$ для любых $x$, модуль можно опустить.

$2 \int \frac{2x}{x^2 + 1} dx = 2\ln(x^2+1)$

Для второго интеграла $\int e^{-x} dx$ используем правило для $e^{kx}$, где $k=-1$.

$\int e^{-x} dx = \frac{1}{-1}e^{-x} = -e^{-x}$

Складываем результаты:

$F(x) = 2\ln(x^2+1) - e^{-x} + C$

Ответ: $F(x) = 2\ln(x^2+1) - e^{-x} + C$

4) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{2\ln x}{x} - 2e^{-2x}$.

$F(x) = \int (\frac{2\ln x}{x} - 2e^{-2x}) dx = \int \frac{2\ln x}{x} dx - \int 2e^{-2x} dx$

Для первого интеграла $2 \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx$ применим метод замены переменной. Пусть $t = \ln x$, тогда $dt = \frac{1}{x}dx$.

$2 \int t dt = 2 \frac{t^2}{2} + C_1 = t^2 + C_1$. Возвращаясь к исходной переменной, получаем $(\ln x)^2$.

Для второго интеграла $-2 \int e^{-2x} dx$ используем правило для $e^{kx}$, где $k=-2$.

$-2 \int e^{-2x} dx = -2 \cdot (\frac{1}{-2}e^{-2x}) = e^{-2x}$

Объединяем результаты и добавляем константу $C$:

$F(x) = (\ln x)^2 + e^{-2x} + C$

Ответ: $F(x) = \ln^2 x + e^{-2x} + C$