Номер 28.4, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.4. 1) $y'' - 2y' + 10y = 0;$

2) $y'' + 8y' + 25y = 0;$

3) $y'' + 6y' + 45y = 0;$

4) $y'' - 4y' + 53y = 0.$

1) Данное уравнение $y'' - 2y' + 10y = 0$ является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для его решения составим соответствующее характеристическое уравнение, заменяя $y''$ на $k^2$, $y'$ на $k$, и $y$ на 1:

$k^2 - 2k + 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $k$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6i}{2} = 1 \pm 3i$.

Корни имеют вид $k = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 1$ и $\beta = 3$.

Общее решение дифференциального уравнения в случае комплексно-сопряженных корней находится по формуле:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляя найденные значения $\alpha = 1$ и $\beta = 3$, получаем общее решение:

$y(x) = e^{1x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

Ответ: $y(x) = e^x(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

2) Рассмотрим уравнение $y'' + 8y' + 25y = 0$. Это также линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

$k^2 + 8k + 25 = 0$.

Найдем его корни. Вычисляем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36$.

Дискриминант отрицательный, следовательно, корни комплексные.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 6i}{2} = -4 \pm 3i$.

В данном случае $\alpha = -4$ и $\beta = 3$.

Общее решение имеет вид $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляем значения $\alpha$ и $\beta$:

$y(x) = e^{-4x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

Ответ: $y(x) = e^{-4x}(C_1\cos(3x) + C_2\sin(3x))$.

3) Решим уравнение $y'' + 6y' + 45y = 0$.

Характеристическое уравнение для него:

$k^2 + 6k + 45 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 36 - 180 = -144$.

Так как $D < 0$, корни уравнения являются комплексно-сопряженными.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{-144}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 12i}{2} = -3 \pm 6i$.

Здесь $\alpha = -3$ и $\beta = 6$.

Используя формулу общего решения $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$, получаем:

$y(x) = e^{-3x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$.

Ответ: $y(x) = e^{-3x}(C_1\cos(6x) + C_2\sin(6x))$.

4) Решим уравнение $y'' - 4y' + 53y = 0$.

Соответствующее ему характеристическое уравнение:

$k^2 - 4k + 53 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 53 = 16 - 212 = -196$.

Дискриминант отрицательный, корни комплексные.

$k_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{-196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 14i}{2} = 2 \pm 7i$.

Корни имеют вид $k = \alpha \pm i\beta$ с $\alpha = 2$ и $\beta = 7$.

Общее решение находится по формуле $y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$.

Подставляем наши значения $\alpha$ и $\beta$:

$y(x) = e^{2x}(C_1\cos(7x) + C_2\sin(7x))$.

Ответ: $y(x) = e^{2x}(C_1\cos(7x) + C_2\sin(7x))$.