Номер 28.8, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

28.8. Составьте соответствующее однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, имеющее решение:

1) $y = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$;

2) $y = e^{x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$;

3) $y = e^{x}(C_1 \cos 5x + C_2 \sin 5x)$;

4) $y = e^{2x}(C_1 \cos 2\sqrt{3}x + C_2 \sin 2\sqrt{3}x)$.

Для составления однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами по его решению, необходимо определить корни характеристического уравнения.

Все представленные решения имеют вид $y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$, что соответствует случаю, когда характеристическое уравнение $ay'' + by' + cy = 0$ имеет пару комплексно-сопряженных корней $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$.

Зная корни, можно восстановить само характеристическое уравнение по формуле $(k - k_1)(k - k_2) = 0$. Для комплексно-сопряженных корней это выражение преобразуется к виду $k^2 - 2\alpha k + (\alpha^2 + \beta^2) = 0$.

Соответствующее этому характеристическому уравнению дифференциальное уравнение имеет вид: $y'' - 2\alpha y' + (\alpha^2 + \beta^2)y = 0$.

Воспользуемся этой общей схемой для решения каждого пункта.

1) Дано решение $y = e^{-3x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x))$.

Сравнивая с общей формулой, находим параметры $\alpha$ и $\beta$: $\alpha = -3$, $\beta = 2$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = -3 \pm 2i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(-3)y' + ((-3)^2 + 2^2)y = 0$

$y'' + 6y' + (9 + 4)y = 0$

$y'' + 6y' + 13y = 0$

Ответ: $y'' + 6y' + 13y = 0$

2) Дано решение $y = e^x(C_1\cos(4x) + C_2\sin(4x))$.

Из этого решения следует, что $\alpha = 1$, $\beta = 4$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = 1 \pm 4i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(1)y' + (1^2 + 4^2)y = 0$

$y'' - 2y' + (1 + 16)y = 0$

$y'' - 2y' + 17y = 0$

Ответ: $y'' - 2y' + 17y = 0$

3) Дано решение $y = e^x(C_1\cos(5x) + C_2\sin(5x))$.

Здесь параметры равны: $\alpha = 1$, $\beta = 5$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = 1 \pm 5i$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(1)y' + (1^2 + 5^2)y = 0$

$y'' - 2y' + (1 + 25)y = 0$

$y'' - 2y' + 26y = 0$

Ответ: $y'' - 2y' + 26y = 0$

4) Дано решение $y = e^{-2x}(C_1\cos(2\sqrt{3}x) + C_2\sin(2\sqrt{3}x))$.

В этом случае параметры: $\alpha = -2$, $\beta = 2\sqrt{3}$.

Корни характеристического уравнения: $k_{1,2} = -2 \pm i2\sqrt{3}$.

Составляем дифференциальное уравнение:

$y'' - 2(-2)y' + ((-2)^2 + (2\sqrt{3})^2)y = 0$

$y'' + 4y' + (4 + 4 \cdot 3)y = 0$

$y'' + 4y' + (4 + 12)y = 0$

$y'' + 4y' + 16y = 0$

Ответ: $y'' + 4y' + 16y = 0$