Вопросы, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какие возможны случаи общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка?

2. От чего зависит вид общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка?

3. Когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой уравнение гармонического колебания?

1. Какие возможны случаи общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка?

Рассмотрим общее линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:$ay'' + by' + cy = 0$, где $a, b, c$ - постоянные действительные числа, и $a \neq 0$.Для нахождения общего решения составляется так называемое характеристическое уравнение, которое получается заменой производных на степени переменной $k$:$ak^2 + bk + c = 0$.Это обычное квадратное уравнение, и в зависимости от его корней существует три возможных случая для вида общего решения исходного дифференциального уравнения.

Случай 1: Два различных действительных корня ($k_1 \neq k_2$)

Этот случай имеет место, когда дискриминант характеристического уравнения $D = b^2 - 4ac > 0$. Корни $k_1$ и $k_2$ являются действительными и различными. Общее решение дифференциального уравнения в этом случае представляет собой линейную комбинацию двух экспонент:$y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$,где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Случай 2: Один действительный корень кратности 2 ($k_1 = k_2 = k$)

Это происходит, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0$. Характеристическое уравнение имеет один корень $k = -\frac{b}{2a}$, но его кратность равна двум. Общее решение в этом случае имеет вид:$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{kx}$ или $y(x) = C_1e^{kx} + C_2xe^{kx}$,где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Случай 3: Два комплексно-сопряженных корня ($k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$)

Этот случай реализуется, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac < 0$. Корни являются комплексными и сопряженными друг другу. Действительная часть корня $\alpha = -\frac{b}{2a}$, а мнимая часть $\beta = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$. Общее решение в действительной форме записывается как произведение затухающей (или возрастающей) экспоненты на гармоническую функцию:$y(x) = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))$,где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

Ответ: Существует три возможных случая общего решения, которые определяются корнями характеристического уравнения: корни действительные и различные; корни действительные и равные (один корень кратности 2); корни комплексно-сопряженные.

2. От чего зависит вид общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка?

Вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $ay'' + by' + cy = 0$ полностью определяется корнями его характеристического уравнения $ak^2 + bk + c = 0$.

Тип корней (действительные и различные, действительные и равные, или комплексные) зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Дискриминант, в свою очередь, вычисляется на основе постоянных коэффициентов $a, b$ и $c$ изначального дифференциального уравнения.

Таким образом, можно сформулировать прямую зависимость:

- Если $b^2 - 4ac > 0$, то решение является суммой двух экспоненциальных функций.

- Если $b^2 - 4ac = 0$, то решение является произведением многочлена первой степени на экспоненциальную функцию.

- Если $b^2 - 4ac < 0$, то решение является произведением экспоненциальной функции на сумму синуса и косинуса (колебательный процесс).

Следовательно, вид общего решения напрямую зависит от соотношения между коэффициентами $a, b, c$.

Ответ: Вид общего решения зависит от знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ характеристического уравнения, который, в свою очередь, определяется значениями постоянных коэффициентов $a, b$ и $c$ самого дифференциального уравнения.

3. Когда решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой уравнение гармонического колебания?

Уравнение гармонического (или простого гармонического) колебания описывает незатухающий и невозрастающий колебательный процесс. Математически оно выражается функцией вида $y(t) = A\cos(\omega t + \phi)$, что эквивалентно записи $y(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$.

Как было показано в ответе на первый вопрос, колебательные решения для уравнения $ay'' + by' + cy = 0$ возникают в случае комплексных корней характеристического уравнения ($b^2 - 4ac < 0$), и общее решение имеет вид $y(t) = e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t))$.

Множитель $e^{\alpha t}$ отвечает за затухание (если $\alpha < 0$) или нарастание (если $\alpha > 0$) амплитуды колебаний. Чтобы колебания были чисто гармоническими (с постоянной амплитудой), этот множитель должен быть равен константе, а именно 1. Это возможно только если показатель степени $\alpha$ равен нулю.

Действительная часть корня $\alpha$ вычисляется по формуле $\alpha = -\frac{b}{2a}$. Условие $\alpha = 0$ выполняется тогда и только тогда, когда коэффициент $b$ при первой производной ($y'$) равен нулю ($b=0$).

При $b=0$ уравнение принимает вид $ay'' + cy = 0$. Его характеристическое уравнение — $ak^2 + c = 0$, откуда $k^2 = -\frac{c}{a}$. Для того чтобы корни были чисто мнимыми ($k = \pm i\beta$), необходимо, чтобы выражение $-\frac{c}{a}$ было отрицательным, что равносильно условию $\frac{c}{a} > 0$. Это означает, что коэффициенты $a$ и $c$ должны быть одного знака (их произведение положительно: $ac > 0$).

В этом случае $k = \pm i\sqrt{\frac{c}{a}}$, и решение принимает вид $y(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$, где угловая частота $\omega = \sqrt{\frac{c}{a}}$. Это и есть искомое уравнение гармонических колебаний.

Ответ: Решение представляет собой уравнение гармонического колебания, когда в уравнении $ay'' + by' + cy = 0$ коэффициент при первой производной $b=0$, а коэффициенты при второй производной и при функции ($a$ и $c$) имеют одинаковые знаки ($ac > 0$).