Номер 27.15, страница 213 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

27.15. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

$y = x^2 - 4x + 5$, касательной к параболе, проходящей через точку $M(4; 5)$, и осью координат.

2) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

$y = \sin^2x$, $y = \cos^2x$, $x \in \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right].$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 4x + 5$, касательной к этой параболе, проходящей через точку $M(4; 5)$, и осью ординат, выполним следующие шаги.

Сначала найдем уравнение касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = x^2 - 4x + 5$. Проверим, лежит ли точка $M(4; 5)$ на параболе: $f(4) = 4^2 - 4(4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5$. Точка $M$ лежит на параболе, следовательно, она является точкой касания, и ее абсцисса $x_0 = 4$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$.

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 4$: $f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$.

Теперь подставим найденные значения ($x_0 = 4$, $f(x_0) = 5$, $f'(x_0) = 4$) в уравнение касательной:$y = 5 + 4(x - 4) = 5 + 4x - 16 = 4x - 11$.Таким образом, уравнение касательной: $y_{кас} = 4x - 11$.

Фигура ограничена параболой $y_{пар} = x^2 - 4x + 5$, касательной $y_{кас} = 4x - 11$ и осью ординат ($x=0$). Пределы интегрирования по оси $x$ будут от $0$ до абсциссы точки касания, то есть до $x=4$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Найдем, какая из функций больше на интервале $[0, 4]$. Рассмотрим их разность:$y_{пар} - y_{кас} = (x^2 - 4x + 5) - (4x - 11) = x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$.Так как $(x-4)^2 \ge 0$ для всех $x$, то парабола $y_{пар}$ лежит выше касательной $y_{кас}$ (или совпадает с ней в точке касания) на всем промежутке.

Площадь $S$ искомой фигуры равна:$S = \int_{0}^{4} (y_{пар} - y_{кас}) dx = \int_{0}^{4} (x^2 - 8x + 16) dx$.

Вычислим определенный интеграл:$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{8x^2}{2} + 16x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x^2 + 16x \right]_{0}^{4}$.

Подставляем пределы интегрирования:$S = \left( \frac{4^3}{3} - 4 \cdot 4^2 + 16 \cdot 4 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 4 \cdot 0^2 + 16 \cdot 0 \right) = \left( \frac{64}{3} - 64 + 64 \right) - 0 = \frac{64}{3}$.

Ответ: $\frac{64}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sin^2 x$ и $y = \cos^2 x$ на отрезке $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y_1(x)$ и $y_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |y_2(x) - y_1(x)| dx$.

Для начала определим, какая из функций принимает большее значение на заданном отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. Сравним $\cos^2 x$ и $\sin^2 x$.На интервале $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ выполняется неравенство $|\cos x| > |\sin x|$. Так как на этом отрезке $\cos x > 0$, то $\cos x > |\sin x|$. Возведя обе части в квадрат, получаем $\cos^2 x > \sin^2 x$. В граничных точках $x = \pm\frac{\pi}{4}$ значения функций равны.Следовательно, на отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ график функции $y = \cos^2 x$ лежит не ниже графика функции $y = \sin^2 x$.

Таким образом, площадь фигуры можно найти как интеграл от разности $(\cos^2 x - \sin^2 x)$ по отрезку $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$:$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\cos^2 x - \sin^2 x) dx$.

Воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos(2x) dx$.

Вычислим интеграл:$S = \left[ \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:$S = \frac{1}{2}(1) - \frac{1}{2}(-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: $1$.