Страница 205 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. По дисконтной карте на АЗС действует $5\%$-ная скидка на бензин. Располагая определенной суммой денег, покупатель может приобрести 57 литров бензина. Сколько литров бензина он может купить на ту же сумму на этой АЗС, воспользовавшись дисконтной картой:

A) 61 л;

B) 59 л;

C) 58 л;

D) 60 л;

E) 62 л?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $S$ — это определенная сумма денег, которой располагает покупатель, а $P$ — первоначальная цена одного литра бензина без скидки.

По условию, на сумму $S$ можно купить 57 литров бензина. Это можно выразить формулой:

$S = 57 \times P$

Дисконтная карта дает скидку 5%. Следовательно, новая цена литра бензина с учетом скидки, обозначим ее $P_{ск}$, составит 95% от первоначальной цены:

$P_{ск} = P \times (1 - 0.05) = 0.95 \times P$

Теперь необходимо определить, сколько литров бензина, обозначим этот объем как $V_{ск}$, можно купить на ту же сумму $S$, но уже по новой, сниженной цене $P_{ск}$:

$S = V_{ск} \times P_{ск}$

Поскольку сумма денег $S$ в обоих случаях одинакова, мы можем приравнять правые части двух уравнений:

$57 \times P = V_{ск} \times P_{ск}$

Подставим выражение для $P_{ск}$ в это равенство:

$57 \times P = V_{ск} \times (0.95 \times P)$

Теперь мы можем сократить переменную $P$ в обеих частях уравнения (так как цена не равна нулю):

$57 = V_{ск} \times 0.95$

Отсюда находим искомый объем бензина $V_{ск}$:

$V_{ск} = \frac{57}{0.95} = 60$

Таким образом, воспользовавшись дисконтной картой, покупатель сможет купить 60 литров бензина на ту же сумму.

Ответ: 60 л.

10. Рустам идет 7 шагов вперед и 3 шага назад. Он сделал 259 шагов.

На сколько шагов Рустам продвинулся вперед:

A) 110; B) 108; C) 107; D) 106; E) 105?

Движение Рустама можно разбить на циклы. Один полный цикл состоит из 7 шагов вперед и 3 шагов назад.

1. Определим параметры одного цикла:

- Общее количество шагов в одном цикле: $7 + 3 = 10$ шагов.

- Продвижение вперед за один цикл: $7 - 3 = 4$ шага.

2. Найдем количество полных циклов в 259 шагах:

Для этого разделим общее количество шагов на количество шагов в одном цикле с остатком:

$259 \div 10 = 25$ (остаток 9).

Это значит, что Рустам совершил 25 полных циклов и после этого сделал еще 9 шагов.

3. Рассчитаем продвижение за полные циклы:

За 25 циклов Рустам продвинулся на:

$25 \text{ циклов} \times 4 \text{ шага/цикл} = 100$ шагов вперед.

4. Рассчитаем продвижение за оставшиеся 9 шагов:

Оставшиеся 9 шагов являются началом нового цикла. По условию, сначала делаются 7 шагов вперед, а затем 3 назад.

- Из 9 шагов первые 7 будут сделаны вперед.

- Оставшиеся $9 - 7 = 2$ шага будут сделаны назад.

- Таким образом, продвижение за эти 9 шагов составит: $7 \text{ вперед} - 2 \text{ назад} = 5$ шагов вперед.

5. Найдем итоговое продвижение:

Сложим продвижение за 25 полных циклов и продвижение за оставшиеся 9 шагов:

$100 + 5 = 105$ шагов.

Ответ: 105.

11. На сколько процентов изменится значение произведения двух чисел, если одно из них уменьшить на 50%, а другое увеличить на 20%:

A) уменьшится на 40%;

B) уменьшится на 30%;

C) уменьшится на 20%;

D) уменьшится на 50%;

E) увеличится на 10%?

Пусть первоначальные числа будут a и b. Их произведение равно $P_1 = a \cdot b$. Это значение мы принимаем за 100%.

Согласно условию, одно из чисел уменьшили на 50%. Новое значение этого числа, обозначим его $a_{новое}$, составит:

$a_{новое} = a - a \cdot \frac{50}{100} = a - 0.5a = 0.5a$

Другое число увеличили на 20%. Новое значение этого числа, обозначим его $b_{новое}$, составит:

$b_{новое} = b + b \cdot \frac{20}{100} = b + 0.2b = 1.2b$

Теперь найдем новое произведение $P_{новое}$:

$P_{новое} = a_{новое} \cdot b_{новое} = (0.5a) \cdot (1.2b) = (0.5 \cdot 1.2) \cdot (a \cdot b)$

$P_{новое} = 0.6 \cdot (a \cdot b) = 0.6 \cdot P_1$

Новое произведение $P_{новое}$ составляет 0.6 от первоначального произведения $P_1$. Чтобы выразить это в процентах, умножим на 100:

$0.6 \cdot 100\% = 60\%$

Это означает, что новое произведение составляет 60% от первоначального. Чтобы найти, на сколько процентов изменилось значение, нужно из первоначальных 100% вычесть полученные 60%:

$100\% - 60\% = 40\%$

Поскольку новое значение (60%) меньше первоначального (100%), произведение уменьшилось на 40%.

Ответ: уменьшится на 40%.

12. Пациенту прописано лекарство, которое нужно принимать по $0,5 \text{ г}$
$3$ раза в день в течение $8$ дней. В одной упаковке $10$ таблеток по
$0,25 \text{ г}$. Какое наименьшее количество упаковок надо купить на
весь курс лечения:

A) $4$; B) $5$; C) $6$; D) $7$; E) $8$?

Для того чтобы определить наименьшее количество упаковок, необходимое на весь курс лечения, нужно последовательно выполнить несколько расчетов.

1. Рассчитаем суточную дозу лекарства в граммах. Пациенту необходимо принимать по 0,5 г лекарства 3 раза в день. Следовательно, суточная доза равна: $0,5 \text{ г} \cdot 3 = 1,5 \text{ г}$

2. Рассчитаем, сколько таблеток необходимо принимать в день. Масса одной таблетки составляет 0,25 г. Чтобы найти количество таблеток в день, разделим суточную дозу на массу одной таблетки: $1,5 \text{ г} / 0,25 \text{ г/таблетку} = 6 \text{ таблеток}$

3. Определим общее количество таблеток на весь курс лечения. Курс лечения длится 8 дней. Умножим дневное количество таблеток на количество дней: $6 \text{ таблеток/день} \cdot 8 \text{ дней} = 48 \text{ таблеток}$

4. Вычислим необходимое количество упаковок. В одной упаковке содержится 10 таблеток. Чтобы найти количество упаковок, разделим общее число требуемых таблеток на количество таблеток в одной упаковке: $48 \text{ таблеток} / 10 \text{ таблеток/упаковку} = 4,8 \text{ упаковки}$

Так как лекарство продается целыми упаковками, полученное число 4,8 необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого. Таким образом, пациенту нужно купить 5 упаковок.

Ответ: 5.