Страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Что является основой для решения логарифмических неравенств?

2. Почему решение логарифмических неравенств в большинстве случаев сводится к рассмотрению системы неравенств?

1. Что является основой для решения логарифмических неравенств?

Основой для решения логарифмических неравенств является свойство монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$. Поведение функции, а следовательно, и метод решения неравенства, напрямую зависит от величины ее основания $a$.

1. Если основание логарифма больше единицы ($a > 1$), то логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства, связывающего логарифмы, к неравенству, связывающему их аргументы (подлогарифмические выражения), знак неравенства сохраняется.

Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $a > 1$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

2. Если основание логарифма находится в интервале от нуля до единицы ($0 < a < 1$), то логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поэтому при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

Например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при $0 < a < 1$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$.

Ответ: Свойство монотонности логарифмической функции, которое зависит от ее основания.

2. Почему решение логарифмических неравенств в большинстве случаев сводится к рассмотрению системы неравенств?

Решение логарифмических неравенств сводится к системе неравенств, потому что, помимо самого неравенства для аргументов (которое следует из свойства монотонности, описанного в пункте 1), необходимо учитывать область определения (ОДЗ) логарифмической функции.

Логарифм $\log_a B$ определен (имеет смысл) только при выполнении следующих условий:

- Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $B > 0$.

- Основание логарифма должно быть строго положительным и не равным единице: $a > 0$ и $a \neq 1$.

При решении логарифмического неравенства все эти ограничения должны выполняться одновременно с основным неравенством. Совокупность условий, которые должны выполняться одновременно, и представляет собой систему неравенств.

Рассмотрим, например, неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ при постоянном основании $a > 1$. Для его решения нужно потребовать, чтобы:

1. Аргумент первого логарифма был положителен: $f(x) > 0$.

2. Аргумент второго логарифма был положителен: $g(x) > 0$.

3. Выполнялось само неравенство для аргументов: $f(x) > g(x)$.

Это приводит к системе: $ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Заметим, что из первого и третьего неравенств ($f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$) автоматически следует второе ($f(x) > 0$), поэтому систему можно упростить:

$ \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Тем не менее, мы все равно решаем именно систему неравенств.

Ответ: Потому что необходимо одновременно учитывать как неравенство для подлогарифмических выражений, вытекающее из свойства монотонности функции, так и условия из области определения логарифмической функции (положительность аргументов и соответствующие ограничения на основание).

Решите логарифмические неравенства (26.1–26.4):

26.1. 1) $\log_5(3 + 8x) > 0;$

2) $\log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2;$

3) $\log_2(x - 3) < 3;$

4) $\lg(4x - 1) < 1.$

1) Решим неравенство $log_5(3 + 8x) > 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3 + 8x > 0$

$8x > -3$

$x > -\frac{3}{8}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 5:

$0 = log_5(1)$

Неравенство примет вид:

$log_5(3 + 8x) > log_5(1)$

Так как основание логарифма $5 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3 + 8x > 1$

$8x > 1 - 3$

$8x > -2$

$x > -\frac{2}{8}$

$x > -\frac{1}{4}$

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть найти пересечение решений $x > -\frac{3}{8}$ и $x > -\frac{1}{4}$.

Поскольку $-\frac{1}{4} > -\frac{3}{8}$ (так как $-0.25 > -0.375$), решением системы неравенств будет $x > -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; +\infty)$.

2) Решим неравенство $log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > -2$.

Найдем ОДЗ:

$7 - x > 0$

$x < 7$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$:

$-2 = log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-2}) = log_{\frac{1}{3}}(3^2) = log_{\frac{1}{3}}(9)$

Неравенство примет вид:

$log_{\frac{1}{3}}(7 - x) > log_{\frac{1}{3}}(9)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$7 - x < 9$

$-x < 9 - 7$

$-x < 2$

$x > -2$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x < 7 \\ x > -2 \end{cases}$

Решением системы является интервал $-2 < x < 7$.

Ответ: $x \in (-2; 7)$.

3) Решим неравенство $log_2(x - 3) < 3$.

Найдем ОДЗ:

$x - 3 > 0$

$x > 3$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2:

$3 = log_2(2^3) = log_2(8)$

Неравенство примет вид:

$log_2(x - 3) < log_2(8)$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$x - 3 < 8$

$x < 8 + 3$

$x < 11$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 11 \end{cases}$

Решением системы является интервал $3 < x < 11$.

Ответ: $x \in (3; 11)$.

4) Решим неравенство $lg(4x - 1) < 1$.

Напомним, что $lg$ — это десятичный логарифм, то есть $log_{10}$.

Найдем ОДЗ:

$4x - 1 > 0$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде десятичного логарифма:

$1 = lg(10^1) = lg(10)$

Неравенство примет вид:

$lg(4x - 1) < lg(10)$

Так как основание логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства сохраняется:

$4x - 1 < 10$

$4x < 11$

$x < \frac{11}{4}$

Учтем ОДЗ, решив систему неравенств:

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x < \frac{11}{4} \end{cases}$

Решением системы является интервал $\frac{1}{4} < x < \frac{11}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; \frac{11}{4})$.

26.2.1)

1) $log_2(2x + 5) > log_2(x - 7)$; 2) $log_5(3x - 2) > log_5(x + 6)$;

3) $log_3(3x - 1) < log_3(2x + 3)$; 4) $log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$.

1) Дано неравенство $\log_2(2x + 5) > \log_2(x - 7)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x - 7 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 2x > -5 \\ x > 7 \end{cases}$

$\begin{cases} x > -2.5 \\ x > 7 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 7$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (7; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$2x + 5 > x - 7$

$2x - x > -7 - 5$

$x > -12$

Найдем пересечение полученного решения $x > -12$ с ОДЗ $x > 7$.

$\begin{cases} x > -12 \\ x > 7 \end{cases}$

Общим решением является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7; +\infty)$.

2) Дано неравенство $\log_5(3x - 2) > \log_5(x + 6)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 2 > 0 \\ x + 6 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 2 \\ x > -6 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x > -6 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{2}{3}$. ОДЗ: $x \in (\frac{2}{3}; +\infty)$.

Основание логарифма $5 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам:

$3x - 2 > x + 6$

$3x - x > 6 + 2$

$2x > 8$

$x > 4$

Найдем пересечение решения $x > 4$ с ОДЗ $x > \frac{2}{3}$.

$\begin{cases} x > 4 \\ x > \frac{2}{3} \end{cases}$

Общим решением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

3) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{3}}(3x - 1) < \log_{\frac{1}{3}}(2x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ 2x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x > 1 \\ 2x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{1}{3} \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{1}{3}$. ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{3} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$ является убывающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 1 > 2x + 3$

$3x - 2x > 3 + 1$

$x > 4$

Найдем пересечение решения $x > 4$ с ОДЗ $x > \frac{1}{3}$.

$\begin{cases} x > 4 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Общим решением является $x > 4$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4) Дано неравенство $\log_{\frac{1}{9}}(4x - 3) > \log_{\frac{1}{9}}(x + 3)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x - 3 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x > 3 \\ x > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{3}{4} \\ x > -3 \end{cases}$

Пересечением является $x > \frac{3}{4}$. ОДЗ: $x \in (\frac{3}{4}; +\infty)$.

Основание логарифма $0 < \frac{1}{9} < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$4x - 3 < x + 3$

$4x - x < 3 + 3$

$3x < 6$

$x < 2$

Найдем пересечение решения $x < 2$ с ОДЗ $x > \frac{3}{4}$.

$\begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{3}{4} \end{cases}$

Общим решением является $\frac{3}{4} < x < 2$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{4}; 2)$.

26.3.1) $ \log_2(2x - 1) > \log_2(x + 1) $

2) $ \log_5(3x + 1) > \log_5(x - 2) $

3) $ \log_{\frac{1}{7}}(12 - x) > -2 $

4) $ \log_{0.2}(x - 2) > \log_{0.2}(3 - x) $

1) Решим неравенство $\log_2(2x-1) > \log_2(x+1)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} 2x-1 > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1/2 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 1/2$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция логарифма является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$2x - 1 > x + 1$

$2x - x > 1 + 1$

$x > 2$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x > 2$ и $x > 1/2$. Общим решением является $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\log_5(3x+1) > \log_5(x-2)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 > 0 \\ x-2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > -1 \\ x > 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/3 \\ x > 2 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 2$.

Основание логарифма $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:

$3x + 1 > x - 2$

$3x - x > -2 - 1$

$2x > -3$

$x > -3/2$

Совмещая с ОДЗ ($x > 2$), получаем итоговое решение $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

3) Решим неравенство $\log_{1/7}(12-x) > -2$.

Найдем ОДЗ: $12 - x > 0 \implies x < 12$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием $1/7$:

$-2 = -2 \cdot \log_{1/7}(1/7) = \log_{1/7}((1/7)^{-2}) = \log_{1/7}(7^2) = \log_{1/7}(49)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{1/7}(12-x) > \log_{1/7}(49)$.

Так как основание логарифма $1/7 < 1$, функция логарифма является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$12 - x < 49$

$-x < 49 - 12$

$-x < 37$

$x > -37$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $x < 12$ и $x > -37$.

Ответ: $x \in (-37; 12)$.

4) Решим неравенство $\log_{0.2}(x-2) > \log_{0.2}(3-x)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ 3-x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $2 < x < 3$.

Основание логарифма $0.2 < 1$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 < 3 - x$

$x + x < 3 + 2$

$2x < 5$

$x < 2.5$

Совместим полученное решение с ОДЗ: $2 < x < 3$ и $x < 2.5$. Общим решением является $2 < x < 2.5$.

Ответ: $x \in (2; 2.5)$.

26.4.1) $log^2_2 x + log_2 x - 2 < 0;$

2) $log^2_{0.2} x - 5log_{0.2} x < -6;$

3) $log^2_{0.1} x + 3log_{0.1} x > 4;$

4) $2 - lg^2 x > lg x.$

1) Исходное неравенство: $log_2^2x + log_2x - 2 < 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_2x$. Тогда неравенство принимает вид:

$t^2 + t - 2 < 0$

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $t^2 + t - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + t - 2$ направлены вверх, неравенство $t^2 + t - 2 < 0$ выполняется между корнями:

$-2 < t < 1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, сделав обратную замену:

$-2 < log_2x < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} log_2x > -2 \\ log_2x < 1 \end{cases}$

Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $y=log_2x$ является возрастающей, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 2^{-2} \\ x < 2^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x < 2 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (\frac{1}{4}; 2)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; 2)$.

2) Исходное неравенство: $log_{0.2}^2x - 5log_{0.2}x < -6$.

Перенесем все члены в левую часть: $log_{0.2}^2x - 5log_{0.2}x + 6 < 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{0.2}x$.

$t^2 - 5t + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Ветви параболы $y = t^2 - 5t + 6$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:

$2 < t < 3$

Сделаем обратную замену:

$2 < log_{0.2}x < 3$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} log_{0.2}x > 2 \\ log_{0.2}x < 3 \end{cases}$

Так как основание логарифма $0.2 < 1$, функция $y=log_{0.2}x$ является убывающей, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные:

$\begin{cases} x < 0.2^2 \\ x > 0.2^3 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 0.04 \\ x > 0.008 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (0.008; 0.04)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (0.008; 0.04)$.

3) Исходное неравенство: $log_{0.1}^2x + 3log_{0.1}x > 4$.

Перенесем все члены в левую часть: $log_{0.1}^2x + 3log_{0.1}x - 4 > 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{0.1}x$.

$t^2 + 3t - 4 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -4$ и $t_2 = 1$.

Ветви параболы $y = t^2 + 3t - 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$t < -4$ или $t > 1$.

Сделаем обратную замену и решим совокупность двух неравенств:

$log_{0.1}x < -4$ или $log_{0.1}x > 1$.

Так как основание логарифма $0.1 < 1$, функция $y=log_{0.1}x$ является убывающей, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные:

$x > 0.1^{-4}$ или $x < 0.1^1$.

$x > (\frac{1}{10})^{-4}$ или $x < 0.1$.

$x > 10^4$ или $x < 0.1$.

$x > 10000$ или $x < 0.1$.

Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем два интервала: $(0; 0.1)$ и $(10000; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; 0.1) \cup (10000; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $2 - lg^2x > lgx$.

Перенесем все члены в одну часть и упорядочим их: $lg^2x + lgx - 2 < 0$. (Напомним, что $lgx$ это $log_{10}x$).

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = lgx$.

$t^2 + t - 2 < 0$

Это такое же квадратное неравенство, как и в первом задании. Его решение: $-2 < t < 1$.

Сделаем обратную замену:

$-2 < lgx < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} lgx > -2 \\ lgx < 1 \end{cases}$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y=lgx$ является возрастающей, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 10^{-2} \\ x < 10^1 \end{cases}$

$\begin{cases} x > 0.01 \\ x < 10 \end{cases}$

Получаем интервал $x \in (0.01; 10)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x \in (0.01; 10)$.

26.5. Укажите неравенство, в котором неверно выполнена замена первого выражения вторым:

1) $\log_{0,5}(x - 2) > 1$, откуда следует $x - 2 < 0,5$;

2) $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$, откуда следует $x - 2 < 3$;

3) $\ln(x + 5) > \ln5$, откуда следует $x + 5 > 5$;

4) $\ln^2(x - 3) < 4$, откуда следует $-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Для того чтобы определить, в каком неравенстве неверно выполнена замена, необходимо проанализировать каждый случай, применяя свойства логарифмических функций и правила решения неравенств.

1) $\log_{0,5}(x - 2) > 1$, откуда следует $x - 2 < 0,5$

Рассмотрим логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x - 2) > 1$.

Основание логарифма $a = 0,5$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 0,5: $1 = \log_{0,5}(0,5^1) = \log_{0,5}(0,5)$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0,5}(x - 2) > \log_{0,5}(0,5)$.

При потенцировании (избавлении от знака логарифма) меняем знак неравенства:

$x - 2 < 0,5$.

Этот переход является одним из шагов решения. Полное решение также требует учета области определения логарифма ($x - 2 > 0$), но сам шаг потенцирования выполнен верно. Следовательно, замена корректна как этап решения.

Ответ: Замена выполнена верно.

2) $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$, откуда следует $x - 2 < 3$

Рассмотрим неравенство $\log_{0,2}(x - 2) > \log_{0,2}3$.

Основание логарифма $a = 0,2$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей.

При решении неравенств вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ с основанием $0 < a < 1$ переходят к равносильной системе неравенств:

$$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $$

В нашем случае $f(x) = x - 2$ и $g(x) = 3$. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$ \begin{cases} x - 2 < 3 \\ x - 2 > 0 \end{cases} $$

Решением этой системы является интервал $2 < x < 5$.

Предложенная замена $x - 2 < 3$ является лишь частью правильного равносильного перехода. Она не учитывает область определения логарифма $\log_{0,2}(x - 2)$, а именно условие $x - 2 > 0$. Решением неравенства $x - 2 < 3$ является $x < 5$, что не совпадает с решением исходного неравенства. Таким образом, замена первого выражения вторым выполнена неверно, так как она не является равносильным преобразованием и приводит к появлению посторонних решений.

Ответ: Замена выполнена неверно.

3) $\ln(x + 5) > \ln5$, откуда следует $x + 5 > 5$

Рассмотрим неравенство $\ln(x + 5) > \ln5$.

Натуральный логарифм ($\ln$) имеет основание $e \approx 2,718$, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием $a > 1$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

Неравенство $\ln(x + 5) > \ln5$ равносильно системе:

$$ \begin{cases} x + 5 > 5 \\ 5 > 0 \end{cases} $$

Условие $5 > 0$ истинно. Условие $x + 5 > 5$ (т.е. $x > 0$) автоматически обеспечивает выполнение условия из области определения логарифма $x + 5 > 0$. Таким образом, переход к неравенству $x + 5 > 5$ является равносильным.

Ответ: Замена выполнена верно.

4) $\ln^2(x - 3) < 4$, откуда следует $-2 < \ln(x - 3) < 2$

Рассмотрим неравенство $\ln^2(x - 3) < 4$.

Пусть $y = \ln(x - 3)$. Тогда неравенство принимает вид $y^2 < 4$.

Неравенство вида $y^2 < c^2$ (где $c>0$) равносильно двойному неравенству $|y| < c$, или $-c < y < c$.

В нашем случае $c=2$, поэтому $y^2 < 4$ равносильно $-2 < y < 2$.

Выполняя обратную замену $y = \ln(x - 3)$, получаем:

$-2 < \ln(x - 3) < 2$.

Это преобразование является равносильным. Область определения ($x - 3 > 0$) сохраняется, так как из $-2 < \ln(x - 3) < 2$ следует $e^{-2} < x-3 < e^2$, а поскольку $e^{-2} > 0$, то условие $x-3>0$ выполняется автоматически.

Ответ: Замена выполнена верно.

Таким образом, единственное неравенство, в котором неверно выполнена замена, находится под номером 2.

Ответ: 2.

26.6. Найдите область определения функции $y = f(x)$:

1) $f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}\frac{2x}{x-1}};$

2) $f(x)=\sqrt{\log_3\frac{x-1}{x+5}}.$

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1}}$ находится из следующих условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

2. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\frac{2x}{x-1} > 0$.

3. Знаменатель дроби в аргументе логарифма не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Рассмотрим первое неравенство: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{2x}{x-1} \ge 0$.

Так как основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный. При этом аргумент логарифма должен оставаться положительным, что уже учтено во втором условии.

Таким образом, исходные условия сводятся к системе неравенств:

Решая логарифмическое неравенство, получаем:

$\frac{2x}{x-1} \le (\frac{1}{2})^0$

$\frac{2x}{x-1} \le 1$

Итак, нам нужно найти решение системы:

Эту систему можно записать в виде двойного неравенства: $0 < \frac{2x}{x-1} \le 1$.

Решим его, разбив на два отдельных неравенства.

Первое неравенство: $\frac{2x}{x-1} > 0$.

Методом интервалов находим, что числитель равен нулю при $x=0$, а знаменатель при $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Второе неравенство: $\frac{2x}{x-1} \le 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x+1}{x-1} \le 0$

Методом интервалов находим, что числитель равен нулю при $x=-1$, а знаменатель при $x=1$. Точки разбивают числовую прямую на интервалы. Учитывая знак неравенства ($\le$), получаем решение: $x \in [-1, 1)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $D(f) = ((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)) \cap [-1, 1)$.

Пересечение этих множеств дает промежуток $[-1, 0)$.

Ответ: $x \in [-1, 0)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\log_{3} \frac{x-1}{x+5}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\log_{3} \frac{x-1}{x+5} \ge 0$.

Это условие также неявно включает в себя требования, что аргумент логарифма $\frac{x-1}{x+5}$ должен быть положительным, и знаменатель $x+5$ не равен нулю.

Так как основание логарифма $a=3$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-1}{x+5} \ge 3^0$

$\frac{x-1}{x+5} \ge 1$

Решим это рациональное неравенство. Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x-1}{x+5} - 1 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x-1) - (x+5)}{x+5} \ge 0$

$\frac{x-1-x-5}{x+5} \ge 0$

$\frac{-6}{x+5} \ge 0$

Числитель дроби, $-6$, является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была неотрицательной, знаменатель $x+5$ должен быть строго отрицательным (так как он не может быть равен нулю).

$x+5 < 0$

Отсюда получаем:

$x < -5$

Таким образом, область определения функции — это интервал $(-\infty, -5)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5)$.