Страница 195 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Что общего
в ходе решения показательных уравнений и решения линейных уравнений с одной переменной?

2. Перечислите основные требования
соблюдение которых является обязательным в решении показательных неравенств и их систем.

1. Несмотря на то что показательные и линейные уравнения относятся к разным классам, в ходе их решения есть несколько общих фундаментальных принципов.

Во-первых, и в том, и в другом случае основной метод решения — это выполнение тождественных (равносильных) преобразований. Цель этих преобразований — упростить исходное уравнение до такого вида, из которого можно легко выразить неизвестную переменную. Например, в линейном уравнении вида $ax+b=c$ мы переносим слагаемые и делим обе части на коэффициент при $x$, чтобы получить $x = (c-b)/a$. Аналогично в показательных уравнениях мы используем свойства степеней, чтобы упростить их.

Во-вторых, очень часто решение показательного уравнения сводится к решению линейного уравнения. Это ключевое сходство. Рассмотрим простейшее показательное уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. После приведения обеих частей к одному основанию $a$ мы переходим к равносильному уравнению для показателей: $f(x) = g(x)$. Если функции $f(x)$ и $g(x)$ являются линейными, то мы получаем обычное линейное уравнение, которое решается стандартными методами.

Например, при решении уравнения $3^{2x-1} = 81$ мы сначала приводим его к виду $3^{2x-1} = 3^4$. Затем мы приравниваем показатели, получая линейное уравнение $2x-1 = 4$. Решая его, находим $2x=5$, и, следовательно, $x=2.5$.

Таким образом, общим является использование равносильных преобразований и тот факт, что решение линейного уравнения часто является завершающим этапом в решении более сложного показательного уравнения.

Ответ: Общим в ходе решения показательных и линейных уравнений является применение равносильных преобразований для упрощения уравнения с целью нахождения неизвестной переменной. Кроме того, решение многих показательных уравнений на определенном этапе сводится к решению линейного уравнения.

2. При решении показательных неравенств и их систем необходимо строго соблюдать следующие основные требования:

1. Приведение к общему основанию. Первым шагом, как правило, является преобразование неравенства к виду $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другим знаком неравенства: $<, \leq, \geq$), где основание $a$ — положительное число, не равное единице ($a>0, a \neq 1$).

2. Анализ величины основания. Это самое важное правило при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей. Оно основано на свойстве монотонности показательной функции $y=a^x$. Существует два случая:

- Если основание больше единицы ($a > 1$), то показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению степени соответствует большее значение показателя. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется. Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ при $a > 1$.

- Если основание положительное, но меньше единицы ($0 < a < 1$), то показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению степени соответствует меньшее значение показателя. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный. Например, $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ при $0 < a < 1$.

3. Учёт области допустимых значений (ОДЗ). Необходимо убедиться, что найденные решения входят в ОДЗ исходного неравенства. ОДЗ определяется условиями существования всех выражений, входящих в неравенство (например, подкоренные выражения должны быть неотрицательными, знаменатели дробей не должны равняться нулю и т.д.). Хотя в простейших показательных неравенствах ОДЗ может быть вся числовая прямая, в более сложных случаях его нахождение является обязательным шагом.

4. Нахождение пересечения решений (для систем). При решении системы неравенств необходимо найти решение каждого неравенства в отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) всех полученных множеств решений. Это пересечение и будет являться решением системы.

Ответ: Основные требования при решении показательных неравенств: приведение к общему основанию $a$; обязательный учёт величины основания $a$ при переходе к неравенству для показателей (если $a > 1$, знак неравенства сохраняется; если $0 < a < 1$, знак меняется на противоположный); учёт ОДЗ; для систем — нахождение пересечения решений всех неравенств.