Страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Решите системы уравнений (24.5—24.7):

24.5. 1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 2, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} x^2+y^2=80, \\ \log_2 x + \log_2 y = 5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических выражений определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_2 (xy) = 5$

Из определения логарифма следует:

$xy = 2^5$

$xy = 32$

Теперь система уравнений принимает более простой вид:

$ \begin{cases} x^2+y^2=80, \\ xy = 32. \end{cases} $

Это симметрическая система. Мы можем использовать формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$. Подставим в нее известные значения из системы:

$(x+y)^2 = 80 + 2 \cdot 32 = 80 + 64 = 144$

Поскольку согласно ОДЗ $x > 0$ и $y > 0$, их сумма $x+y$ также должна быть положительной. Следовательно:

$x+y = \sqrt{144} = 12$

Теперь у нас есть система из двух простых линейных соотношений между $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x+y=12, \\ xy = 32. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, переменные $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$:

$t^2 - 12t + 32 = 0$

Найдем корни этого уравнения через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16$

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - \sqrt{16}}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + \sqrt{16}}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8$

Таким образом, если $x=4$, то $y=8$, и если $x=8$, то $y=4$. Обе пары решений удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4; 8), (8; 4)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \lg x + \lg y = \lg 2, \\ x^2+y^2=5; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\lg(xy) = \lg 2$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$xy = 2$

Система уравнений принимает вид:

$ \begin{cases} xy=2, \\ x^2+y^2=5. \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$:

$(x+y)^2 = 5 + 2 \cdot 2 = 9$

Учитывая ОДЗ ($x > 0, y > 0$), имеем $x+y > 0$, поэтому:

$x+y = \sqrt{9} = 3$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x+y=3, \\ xy = 2. \end{cases} $

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Это уравнение легко решается разложением на множители:

$(t-1)(t-2) = 0$

Корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

24.6. 1)

$\begin{cases} \log_2 (x + y) = 3, \\ \log_{15} x = 1 - \log_{15} y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_3 (xy) = 2 + \log_3 2, \\ \log_3 (x + y) = 2. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}\log_2(x+y) = 3 \\\log_{15}x = 1 - \log_{15}y\end{cases}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x+y > 0$

$x > 0$

$y > 0$

Из условий $x > 0$ и $y > 0$ автоматически следует, что $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ системы: $x > 0$ и $y > 0$.

Теперь преобразуем каждое уравнение системы.

Из первого уравнения $\log_2(x+y) = 3$, по определению логарифма, получаем:

$x+y = 2^3$

$x+y = 8$

Рассмотрим второе уравнение $\log_{15}x = 1 - \log_{15}y$. Перенесем $\log_{15}y$ в левую часть:

$\log_{15}x + \log_{15}y = 1$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, получим:

$\log_{15}(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 15^1$

$xy = 15$

Теперь решаем полученную систему алгебраических уравнений:$\begin{cases}x+y = 8 \\xy = 15\end{cases}$

Эта система является классической и может быть решена по теореме, обратной теореме Виета. Числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 8t + 15 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$.

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{8 - 2}{2} = 3$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{8 + 2}{2} = 5$

Таким образом, решениями являются пары чисел $(3; 5)$ и $(5; 3)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $y > 0$).

Ответ: $(3; 5), (5; 3)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}\log_3(xy) = 2 + \log_3 2 \\\log_3(x+y) = 2\end{cases}$

Определим ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$xy > 0$

$x+y > 0$

Условие $xy > 0$ означает, что $x$ и $y$ одного знака. Условие $x+y > 0$ означает, что их сумма положительна. Это возможно только если оба числа положительны. Следовательно, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение: $\log_3(xy) = 2 + \log_3 2$.

Представим 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

$\log_3(xy) = \log_3 9 + \log_3 2$

Используя свойство суммы логарифмов:

$\log_3(xy) = \log_3(9 \cdot 2)$

$\log_3(xy) = \log_3(18)$

Отсюда получаем:

$xy = 18$

Преобразуем второе уравнение: $\log_3(x+y) = 2$.

По определению логарифма:

$x+y = 3^2$

$x+y = 9$

Получили систему алгебраических уравнений:$\begin{cases}x+y = 9 \\xy = 18\end{cases}$

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 18 = 0$.

Найдем корни, решив уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.

$t_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3$

$t_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$

Таким образом, решениями являются пары чисел $(3; 6)$ и $(6; 3)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$ и $y > 0$).

Ответ: $(3; 6), (6; 3)$.

247. 1)

$\begin{cases} 2^{\log_2 (3x-y)} = 5, \\ \log_9 (x^2 - y^2) - \log_9 (x-y) = 0,5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3^{\log_3 (x-y)} = 1, \\ \log_3 (2x-1) + \log_3 y = 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2^{\log_2(3x-y)} = 5, \\ \log_9(x^2-y^2) - \log_9(x-y) = 0,5; \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} 3x-y > 0, \\ x^2-y^2 > 0, \\ x-y > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение системы, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2(3x-y)} = 5 \implies 3x-y = 5$.

Так как $5 > 0$, первое условие ОДЗ ($3x-y > 0$) выполняется автоматически.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_9\left(\frac{x^2-y^2}{x-y}\right) = 0,5$.

Упростим выражение под знаком логарифма, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$:

$\log_9\left(\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}\right) = 0,5$.

Так как по ОДЗ $x-y > 0$, мы можем сократить дробь:

$\log_9(x+y) = 0,5$.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), это уравнение эквивалентно:

$x+y = 9^{0,5} = \sqrt{9} = 3$.

В результате мы получили систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y = 5, \\ x+y = 3. \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы найти $x$:

$(3x-y) + (x+y) = 5+3 \implies 4x = 8 \implies x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$2+y = 3 \implies y=1$.

Проверим найденное решение $(2; 1)$ на соответствие оставшимся условиям ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2-y^2 = 2^2 - 1^2 = 4-1=3 > 0, \\ x-y = 2-1 = 1 > 0. \end{cases} $

Все условия ОДЗ выполнены. Следовательно, решение верное.

Ответ: $(2; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1, \\ \log_3(2x-1) + \log_3 y = 1. \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-y > 0, \\ 2x-1 > 0 \implies x > 0,5, \\ y > 0. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$3^{\log_3(x-y)} = 1 \implies x-y = 1$.

Первое условие ОДЗ ($x-y > 0$) выполняется, так как $1>0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_3((2x-1)y) = 1$.

По определению логарифма:

$(2x-1)y = 3^1 = 3$.

Мы получили систему уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 1, \\ (2x-1)y = 3. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y+1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(2(y+1)-1)y = 3$

$(2y+2-1)y = 3$

$(2y+1)y = 3$

$2y^2+y-3=0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1+24=25$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1-5}{4} = -1,5$.

$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+5}{4} = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ из соотношения $x=y+1$:

Если $y_1 = -1,5$, то $x_1 = -1,5+1 = -0,5$. Получаем пару $(-0,5; -1,5)$.

Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 1+1 = 2$. Получаем пару $(2; 1)$.

Проверим найденные решения на соответствие ОДЗ ($x > 0,5$ и $y > 0$):

Пара $(-0,5; -1,5)$ не удовлетворяет условиям $x > 0,5$ (так как $-0,5 < 0,5$) и $y > 0$ (так как $-1,5 < 0$). Этот корень является посторонним.

Пара $(2; 1)$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ: $2 > 0,5$ и $1 > 0$.

Ответ: $(2; 1)$.

Решите уравнения (24.8-24.11):

24.8. 1) $log_3 \sqrt{2x+1} = 1;$

2) $log_{1/2} \sqrt[3]{2x-2} = -2;$

3) $log_{3/5} \frac{2x+3}{x-2} = 1;$

4) $log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0.$

1) Исходное уравнение: $ \log_3 \sqrt{2x+1} = 1 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под логарифмом должно быть строго положительным, а выражение под корнем — неотрицательным. Объединяя эти условия, получаем: $ 2x+1 > 0 $, откуда $ 2x > -1 $, и $ x > -1/2 $.

По определению логарифма $ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $, перепишем уравнение:

$ \sqrt{2x+1} = 3^1 $

$ \sqrt{2x+1} = 3 $

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$ (\sqrt{2x+1})^2 = 3^2 $

$ 2x+1 = 9 $

$ 2x = 8 $

$ x = 4 $

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $ 4 > -1/2 $, корень подходит.

Ответ: $x=4$

2) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2x-2} = -2 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Так как корень нечетной степени, знак подкоренного выражения совпадает со знаком самого корня. Следовательно, $ 2x-2 > 0 $, откуда $ 2x > 2 $, и $ x > 1 $.

Используем определение логарифма:

$ \sqrt[3]{2x-2} = (\frac{1}{2})^{-2} $

Так как $ (\frac{1}{2})^{-2} = (2^{-1})^{-2} = 2^2 = 4 $, получаем:

$ \sqrt[3]{2x-2} = 4 $

Возведем обе части уравнения в куб:

$ (\sqrt[3]{2x-2})^3 = 4^3 $

$ 2x-2 = 64 $

$ 2x = 66 $

$ x = 33 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ 33 > 1 $, корень подходит.

Ответ: $x=33$

3) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{3}{5}} \frac{2x+3}{x-2} = 1 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным: $ \frac{2x+3}{x-2} > 0 $. Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $ x = -3/2 $. Нуль знаменателя: $ x = 2 $. На числовой прямой эти точки делят ось на три интервала: $ (-\infty; -3/2) $, $ (-3/2; 2) $, $ (2; +\infty) $. Проверив знаки в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty; -3/2) \cup (2; +\infty) $.

По определению логарифма:

$ \frac{2x+3}{x-2} = (\frac{3}{5})^1 $

$ \frac{2x+3}{x-2} = \frac{3}{5} $

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 5(2x+3) = 3(x-2) $

$ 10x + 15 = 3x - 6 $

$ 10x - 3x = -6 - 15 $

$ 7x = -21 $

$ x = -3 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ -3 < -3/2 $, корень $ x=-3 $ принадлежит интервалу $ (-\infty; -3/2) $ и является решением.

Ответ: $x=-3$

4) Исходное уравнение: $ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3x-5} = 0 $.

ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть строго положительным. Так как числитель дроби $1$ положителен, знаменатель также должен быть положительным: $ 3x-5 > 0 $, откуда $ 3x > 5 $, и $ x > 5/3 $.

По определению логарифма:

$ \frac{1}{3x-5} = (\sqrt{3})^0 $

Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому:

$ \frac{1}{3x-5} = 1 $

$ 1 = 3x-5 $

$ 6 = 3x $

$ x = 2 $

Проверим корень по ОДЗ. Так как $ 2 = 6/3 $ и $ 6/3 > 5/3 $, корень $ x=2 $ удовлетворяет условию $ x > 5/3 $.

Ответ: $x=2$

24.9. 1) $\lg\sqrt{3x+1} + \lg\sqrt{x+4} = \lg12;$

2) $\lg(x-2) - \lg\sqrt{x-4} = \lg3;$

3) $(x^2 - 4) \log_3(1 - x^2 - 3x) = 0;$

4) $(x^2 - x - 2) \log_2(x^2 - 4x + 4) = 0.$

1) Исходное уравнение: $lg \sqrt{3x+1} + lg \sqrt{x+4} = lg 12$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными, а подкоренные выражения — неотрицательными. Так как аргументы логарифмов это корни, достаточно потребовать, чтобы подкоренные выражения были строго положительны:

$ \begin{cases} 3x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1/3 \\ x > -4 \end{cases} $.

Следовательно, ОДЗ: $x > -1/3$.

Используя свойство суммы логарифмов $lg a + lg b = lg(ab)$, преобразуем левую часть уравнения:

$lg(\sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x+4}) = lg 12$

$lg(\sqrt{(3x+1)(x+4)}) = lg 12$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:

$\sqrt{(3x+1)(x+4)} = 12$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(3x+1)(x+4) = 144$

$3x^2 + 12x + x + 4 = 144$

$3x^2 + 13x - 140 = 0$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849 = 43^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$.

$x_2 = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3$).

$x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 > -1/3$.

$x_2 = -28/3 = -9\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $-28/3 < -1/3$.

Таким образом, уравнение имеет один корень.

Ответ: 5.

2) Исходное уравнение: $lg(x - 2) - lg\sqrt{x - 4} = lg3$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 4 \end{cases} $.

Следовательно, ОДЗ: $x > 4$.

Используя свойство разности логарифмов $lg a - lg b = lg(a/b)$, преобразуем левую часть:

$lg\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = lg3$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x - 2}{\sqrt{x - 4}} = 3$

$x - 2 = 3\sqrt{x - 4}$

Возведем обе части в квадрат. Поскольку при $x>4$ обе части уравнения положительны, это преобразование является равносильным.

$(x - 2)^2 = (3\sqrt{x - 4})^2$

$x^2 - 4x + 4 = 9(x - 4)$

$x^2 - 4x + 4 = 9x - 36$

$x^2 - 13x + 40 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = 13$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 40$.

Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 4$), так как $5 > 4$ и $8 > 4$.

Ответ: 5; 8.

3) Исходное уравнение: $(x^2 - 4) \log_3(1 - x^2 - 3x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 - 3x > 0$

$x^2 + 3x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Так как парабола $y = x^2 + 3x - 1$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.ОДЗ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.

Рассмотрим два случая:

1. $x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2$.

2. $\log_3(1 - x^2 - 3x) = 0 \implies 1 - x^2 - 3x = 3^0 \implies 1 - x^2 - 3x = 1 \implies -x^2 - 3x = 0 \implies -x(x+3)=0 \implies x_3 = 0, x_4 = -3$.

Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$. Приближенно $\sqrt{13} \approx 3.6$, тогда интервал ОДЗ примерно $(-3.3; 0.3)$.

- $x = 2$: не принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0.3$.

- $x = -2$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < -2 < 0.3$.

- $x = 0$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < 0 < 0.3$.

- $x = -3$: принадлежит ОДЗ, так как $-3.3 < -3 < 0.3$.

Ответ: -3; -2; 0.

4) Исходное уравнение: $(x^2 - x - 2) \log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 4x + 4 > 0$

$(x - 2)^2 > 0$

Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 2$.ОДЗ: $x \neq 2$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

1. $x^2 - x - 2 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$.

Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

2. $\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$.

$x^2 - 4x + 4 = 2^0$

$x^2 - 4x + 4 = 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета: $x_3 + x_4 = 4$, $x_3 \cdot x_4 = 3$.

Корни: $x_3 = 1$, $x_4 = 3$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$).

- $x = 2$: не удовлетворяет ОДЗ.

- $x = -1$: удовлетворяет ОДЗ.

- $x = 1$: удовлетворяет ОДЗ.

- $x = 3$: удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -1; 1; 3.

24.10. 1) $ \lg x + \lg x^2 + \lg x^3 = 6; $

2) $ \frac{\lg x}{1 - \lg x} = 3; $

3) $ \log_2 \log_2 \log_2 x = 0; $

4) $ 10^{x + \lg 2} = 20. $

1)

Исходное уравнение: $lg x + lg x^2 + lg x^3 = 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля. Поэтому $x > 0$.

Используем свойство логарифма $log_a(b^n) = n \cdot log_a(b)$:

$lg x + 2 lg x + 3 lg x = 6$

Складываем подобные слагаемые:

$6 lg x = 6$

Делим обе части на 6:

$lg x = 1$

По определению десятичного логарифма ($lg x = log_{10} x$):

$x = 10^1 = 10$

Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 > 0$).

Ответ: $10$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{lg x}{1 - lg x} = 3$.

ОДЗ: аргумент логарифма $x > 0$ и знаменатель дроби не равен нулю, то есть $1 - lg x \ne 0$, откуда $lg x \ne 1$, что означает $x \ne 10$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - lg x)$:

$lg x = 3(1 - lg x)$

$lg x = 3 - 3 lg x$

Перенесем слагаемые с $lg x$ в левую часть:

$lg x + 3 lg x = 3$

$4 lg x = 3$

$lg x = \frac{3}{4}$

Из определения логарифма следует:

$x = 10^{\frac{3}{4}}$ или $x = \sqrt[4]{1000}$.

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($10^{\frac{3}{4}} > 0$ и $10^{\frac{3}{4}} \ne 10$).

Ответ: $10^{\frac{3}{4}}$.

3)

Исходное уравнение: $log_2 log_2 log_2 x = 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент каждого логарифма должен быть положителен:

1. $x > 0$

2. $log_2 x > 0$, что равносильно $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

3. $log_2(log_2 x) > 0$, что равносильно $log_2 x > 2^0=1$, а это в свою очередь равносильно $x > 2^1=2$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

$log_2(log_2 log_2 x) = 0 \implies log_2 log_2 x = 2^0 = 1$

$log_2 log_2 x = 1 \implies log_2 x = 2^1 = 2$

$log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 2$).

Ответ: $4$.

4)

Исходное уравнение: $10^{x + lg 2} = 20$.

ОДЗ для переменной $x$ — все действительные числа, так как показатель степени может быть любым числом.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^x \cdot 10^{lg 2} = 20$

По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, имеем $10^{lg 2} = 2$.

Подставляем это в уравнение:

$10^x \cdot 2 = 20$

Делим обе части на 2:

$10^x = 10$

$10^x = 10^1$

Следовательно, $x = 1$.

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.

24.11.1.

1) $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9 15$;

2) $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2\log_4 5$;

3) $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$;

4) $\log_7(6 + 7^x) = 1 + x$.

1)

Исходное уравнение: $\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = 2 \cdot \log_9{15}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$5^{2x} - 2 \cdot 5^x > 0$.

Сделаем замену $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$t^2 - 2t > 0$

$t(t - 2) > 0$

Учитывая, что $t > 0$, получаем $t - 2 > 0$, то есть $t > 2$.

Возвращаясь к переменной $x$, имеем $5^x > 2$, откуда $x > \log_5{2}$. Это и есть ОДЗ.

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:$2 \cdot \log_9{15} = 2 \cdot \frac{\log_3{15}}{\log_3{9}} = 2 \cdot \frac{\log_3{15}}{2} = \log_3{15}$.

Уравнение принимает вид:$\log_3(5^{2x} - 2 \cdot 5^x) = \log_3{15}$.

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:$5^{2x} - 2 \cdot 5^x = 15$.

$5^{2x} - 2 \cdot 5^x - 15 = 0$.

Снова сделаем замену $t = 5^x$:$t^2 - 2t - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:$t_1 = 5$, $t_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$ и учтем ОДЗ ($t > 2$):

1. $t_1 = 5$. Этот корень удовлетворяет условию $t > 2$.

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

$x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=1$ ОДЗ ($x > \log_5{2}$). Так как $1 = \log_5{5}$ и $5 > 2$, то $\log_5{5} > \log_5{2}$. Условие выполнено.

2. $t_2 = -3$. Этот корень не удовлетворяет условию $t > 0$ (и, соответственно, $t>2$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $x = 1$.

2)

Исходное уравнение: $\log_2(2^{2(x+1)} + 2^{4x}) = 2\log_4{5}$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$2^{2(x+1)} + 2^{4x} > 0$.

$2^{2x+2} + 2^{4x} > 0$.

Так как показательная функция $a^y$ всегда положительна, сумма двух положительных слагаемых всегда больше нуля. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Преобразуем правую часть уравнения:$2\log_4{5} = 2 \cdot \frac{\log_2{5}}{\log_2{4}} = 2 \cdot \frac{\log_2{5}}{2} = \log_2{5}$.

Уравнение принимает вид:$\log_2(2^{2x+2} + 2^{4x}) = \log_2{5}$.

Приравниваем аргументы:$2^{2x+2} + 2^{4x} = 5$.

$2^{2x} \cdot 2^2 + (2^{2x})^2 = 5$.

$4 \cdot 2^{2x} + (2^{2x})^2 - 5 = 0$.

Сделаем замену $t = 2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$, то $t > 0$.

$t^2 + 4t - 5 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Корни:$t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем условие $t > 0$:

1. $t_1 = 1$. Удовлетворяет условию $t > 0$.

$2^{2x} = 1$

$2^{2x} = 2^0$

$2x = 0$

$x = 0$.

2. $t_2 = -5$. Не удовлетворяет условию $t > 0$, посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.

3)

Исходное уравнение: $\log_3(3^x - 8) = 2 - x$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$3^x - 8 > 0$

$3^x > 8$

$x > \log_3{8}$.

Используем определение логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:$3^{2-x} = 3^x - 8$.

$\frac{3^2}{3^x} = 3^x - 8$

$\frac{9}{3^x} = 3^x - 8$.

Сделаем замену $t = 3^x$. Из ОДЗ следует, что $t > 8$.

$\frac{9}{t} = t - 8$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t>8$, то $t \neq 0$):$9 = t^2 - 8t$

$t^2 - 8t - 9 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Корни:$t_1 = 9$, $t_2 = -1$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем ОДЗ ($t > 8$):

1. $t_1 = 9$. Удовлетворяет условию $t > 8$.

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=2$ ОДЗ ($x > \log_3{8}$). Так как $2 = \log_3{9}$ и $9>8$, то $\log_3{9} > \log_3{8}$. Условие выполнено.

2. $t_2 = -1$. Не удовлетворяет условию $t > 8$, посторонний корень.

Ответ: $x = 2$.

4)

Исходное уравнение: $\log_7(6 + 7^{-x}) = 1 + x$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:$6 + 7^{-x} > 0$.

Так как $7^{-x} > 0$ для любого $x$, то и $6 + 7^{-x} > 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \in R$.

Используем определение логарифма:$7^{1+x} = 6 + 7^{-x}$.

$7 \cdot 7^x = 6 + \frac{1}{7^x}$.

Сделаем замену $t = 7^x$. Так как $7^x > 0$, то $t > 0$.

$7t = 6 + \frac{1}{t}$.

Домножим обе части на $t$ (так как $t > 0$, то $t \neq 0$):$7t^2 = 6t + 1$

$7t^2 - 6t - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$.

$t = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm 8}{14}$.

$t_1 = \frac{6+8}{14} = \frac{14}{14} = 1$.

$t_2 = \frac{6-8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$.

Возвращаемся к переменной $x$ и учитываем условие $t > 0$:

1. $t_1 = 1$. Удовлетворяет условию $t > 0$.

$7^x = 1$

$7^x = 7^0$

$x = 0$.

2. $t_2 = -\frac{1}{7}$. Не удовлетворяет условию $t > 0$, посторонний корень.

Ответ: $x = 0$.

Решите системы уравнений (24.12–24.14):

24.12. 1) $ \begin{cases} \log_3 (y - x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \log_2 (x - y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_3(y-x) = 1, \\ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24. \end{cases} $

Сначала преобразуем первое уравнение. По определению логарифма, если $ \log_a b = c $, то $ a^c = b $. Применяя это к нашему уравнению, получаем:

$ y - x = 3^1 $

$ y - x = 3 $

Из этого уравнения выразим $ y $ через $ x $:

$ y = x + 3 $

Область допустимых значений для логарифма требует, чтобы выражение под логарифмом было положительным: $ y - x > 0 $. Поскольку мы получили $ y - x = 3 $, это условие ($3 > 0$) выполняется.

Теперь преобразуем второе уравнение, используя свойство степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $:

$ 3^{x+1} \cdot 2^y = 24 $

$ 3^x \cdot 3^1 \cdot 2^y = 24 $

$ 3 \cdot 3^x \cdot 2^y = 24 $

Разделим обе части уравнения на 3:

$ 3^x \cdot 2^y = 8 $

Теперь у нас есть упрощенная система:

$ \begin{cases} y = x + 3, \\ 3^x \cdot 2^y = 8. \end{cases} $

Подставим выражение для $ y $ из первого уравнения во второе:

$ 3^x \cdot 2^{x+3} = 8 $

Используем свойство степеней еще раз:

$ 3^x \cdot (2^x \cdot 2^3) = 8 $

$ 3^x \cdot 2^x \cdot 8 = 8 $

Разделим обе части на 8:

$ 3^x \cdot 2^x = 1 $

Используем свойство степеней $ a^m \cdot b^m = (ab)^m $:

$ (3 \cdot 2)^x = 1 $

$ 6^x = 1 $

Поскольку любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, получаем:

$ x = 0 $

Найдем $ y $, подставив значение $ x $ в выражение $ y = x + 3 $:

$ y = 0 + 3 = 3 $

Проверим полученное решение $(0; 3)$ в исходной системе:

$ \log_3(3-0) = \log_3(3) = 1 $. Первое уравнение верно.

$ 3^{0+1} \cdot 2^3 = 3^1 \cdot 8 = 24 $. Второе уравнение верно.

Ответ: $(0; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_2(x-y) = 1, \\ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72. \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение по определению логарифма:

$ x - y = 2^1 $

$ x - y = 2 $

Выразим $ x $ через $ y $:

$ x = y + 2 $

Область допустимых значений $ x - y > 0 $ выполняется, так как $ 2 > 0 $.

Преобразуем второе уравнение:

$ 2^x \cdot 3^{y+1} = 72 $

$ 2^x \cdot 3^y \cdot 3^1 = 72 $

$ 3 \cdot 2^x \cdot 3^y = 72 $

Разделим обе части на 3:

$ 2^x \cdot 3^y = 24 $

Теперь у нас есть система:

$ \begin{cases} x = y + 2, \\ 2^x \cdot 3^y = 24. \end{cases} $

Подставим выражение для $ x $ из первого уравнения во второе:

$ 2^{y+2} \cdot 3^y = 24 $

Применим свойство степеней:

$ (2^y \cdot 2^2) \cdot 3^y = 24 $

$ 2^y \cdot 4 \cdot 3^y = 24 $

$ 4 \cdot (2^y \cdot 3^y) = 24 $

Разделим обе части на 4:

$ 2^y \cdot 3^y = 6 $

Используем свойство $ a^m \cdot b^m = (ab)^m $:

$ (2 \cdot 3)^y = 6 $

$ 6^y = 6^1 $

Отсюда:

$ y = 1 $

Найдем $ x $, подставив значение $ y $ в выражение $ x = y + 2 $:

$ x = 1 + 2 = 3 $

Проверим полученное решение $(3; 1)$ в исходной системе:

$ \log_2(3-1) = \log_2(2) = 1 $. Первое уравнение верно.

$ 2^3 \cdot 3^{1+1} = 8 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 $. Второе уравнение верно.

Ответ: $(3; 1)$.

24.13. 1) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972, \\ \log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2. \end{cases} $

1) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4. \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. По определению логарифма, основание в степени значения логарифма равно аргументу. Также учтем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля, то есть $y - x > 0$.

Из второго уравнения получаем:

$y - x = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{1/2 \cdot 4} = 2^2 = 4$.

Получили $y - x = 4$, что удовлетворяет ОДЗ ($4 > 0$). Выразим $y$ через $x$:

$y = x + 4$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3^x \cdot 2^{x+4} = 576$.

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем уравнение:

$3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576$.

Используя свойство $a^m \cdot b^m = (ab)^m$ и вычислив $2^4 = 16$, получим:

$(3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576$,

$6^x \cdot 16 = 576$.

Разделим обе части на 16:

$6^x = \frac{576}{16} = 36$.

Поскольку $36 = 6^2$, имеем:

$6^x = 6^2$.

Отсюда следует, что $x = 2$.

Теперь найдем $y$, используя ранее полученное соотношение $y = x + 4$:

$y = 2 + 4 = 6$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 6)$.

Ответ: $(2; 6)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 972, \\ \log_{\sqrt{3}}(x - y) = 2. \end{cases} $

Начнем со второго уравнения. ОДЗ для логарифма: $x - y > 0$.

По определению логарифма:

$x - y = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Полученное значение $x - y = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$). Выразим $x$ через $y$:

$x = y + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3^{y+3} \cdot 2^y = 972$.

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$3^y \cdot 3^3 \cdot 2^y = 972$.

$(3 \cdot 2)^y \cdot 27 = 972$,

$6^y \cdot 27 = 972$.

Разделим обе части на 27:

$6^y = \frac{972}{27} = 36$.

Так как $36 = 6^2$, получаем:

$6^y = 6^2$.

Отсюда $y = 2$.

Теперь найдем $x$ из соотношения $x = y + 3$:

$x = 2 + 3 = 5$.

Решение системы — пара чисел $(5; 2)$.

Ответ: $(5; 2)$.

24.14. 1)

$\begin{cases}10^{2 - \lg(x-y)} = 25, \\\lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2;\end{cases}$

2) $\begin{cases}10^{1 + \lg(x+y)} = 50, \\\lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5.\end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10^{2-\lg(x-y)} = 25, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2; \end{cases} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$10^{2-\lg(x-y)} = 25$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m / a^n$, получаем:

$\frac{10^2}{10^{\lg(x-y)}} = 25$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, где $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$), имеем:

$\frac{100}{x-y} = 25$

Отсюда находим $x-y$:

$x-y = \frac{100}{25}$

$x-y = 4$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$\lg(x-y) + \lg(x+y) = 1 + 2\lg2$

Используя свойства логарифмов $\log a + \log b = \log(ab)$, $n \log a = \log(a^n)$ и то, что $1 = \lg10$:

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg10 + \lg(2^2)$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg10 + \lg4$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(10 \cdot 4)$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(40)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(x-y)(x+y) = 40$

Теперь у нас есть более простая система уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 4, \\ (x-y)(x+y) = 40. \end{cases} $

Подставим значение $x-y$ из первого уравнения во второе:

$4(x+y) = 40$

$x+y = \frac{40}{4}$

$x+y = 10$

Получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x-y = 4, \\ x+y = 10. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x-y) + (x+y) = 4 + 10$

$2x = 14$

$x = 7$

Подставим значение $x$ в уравнение $x+y=10$:

$7 + y = 10$

$y = 3$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x-y = 7-3 = 4 > 0$ и $x+y = 7+3 = 10 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(7; 3)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 10^{1+\lg(x+y)} = 50, \\ \lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5. \end{cases} $

ОДЗ: $x-y > 0$ и $x+y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$10^{1+\lg(x+y)} = 50$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^1 \cdot 10^{\lg(x+y)} = 50$

По основному логарифмическому тождеству:

$10(x+y) = 50$

$x+y = \frac{50}{10}$

$x+y = 5$

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

$\lg(x-y) + \lg(x+y) = 2 - \lg5$

Используя свойства логарифмов $\log a + \log b = \log(ab)$, $\log a - \log b = \log(a/b)$ и то, что $2 = \lg100$:

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg100 - \lg5$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(\frac{100}{5})$

$\lg((x-y)(x+y)) = \lg(20)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$(x-y)(x+y) = 20$

Получили новую систему уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ (x-y)(x+y) = 20. \end{cases} $

Подставим значение $x+y$ из первого уравнения во второе:

$(x-y) \cdot 5 = 20$

$x-y = \frac{20}{5}$

$x-y = 4$

Теперь решаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = 5, \\ x-y = 4. \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 5 + 4$

$2x = 9$

$x = 4.5$

Подставим значение $x$ в уравнение $x+y=5$:

$4.5 + y = 5$

$y = 5 - 4.5$

$y = 0.5$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x-y = 4.5-0.5 = 4 > 0$ и $x+y = 4.5+0.5 = 5 > 0$. Условия выполнены.

Ответ: $(4.5; 0.5)$.