Номер 24.10, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.10. 1) $ \lg x + \lg x^2 + \lg x^3 = 6; $

2) $ \frac{\lg x}{1 - \lg x} = 3; $

3) $ \log_2 \log_2 \log_2 x = 0; $

4) $ 10^{x + \lg 2} = 20. $

1)

Исходное уравнение: $lg x + lg x^2 + lg x^3 = 6$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент должен быть строго больше нуля. Поэтому $x > 0$.

Используем свойство логарифма $log_a(b^n) = n \cdot log_a(b)$:

$lg x + 2 lg x + 3 lg x = 6$

Складываем подобные слагаемые:

$6 lg x = 6$

Делим обе части на 6:

$lg x = 1$

По определению десятичного логарифма ($lg x = log_{10} x$):

$x = 10^1 = 10$

Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 > 0$).

Ответ: $10$.

2)

Исходное уравнение: $\frac{lg x}{1 - lg x} = 3$.

ОДЗ: аргумент логарифма $x > 0$ и знаменатель дроби не равен нулю, то есть $1 - lg x \ne 0$, откуда $lg x \ne 1$, что означает $x \ne 10$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - lg x)$:

$lg x = 3(1 - lg x)$

$lg x = 3 - 3 lg x$

Перенесем слагаемые с $lg x$ в левую часть:

$lg x + 3 lg x = 3$

$4 lg x = 3$

$lg x = \frac{3}{4}$

Из определения логарифма следует:

$x = 10^{\frac{3}{4}}$ или $x = \sqrt[4]{1000}$.

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($10^{\frac{3}{4}} > 0$ и $10^{\frac{3}{4}} \ne 10$).

Ответ: $10^{\frac{3}{4}}$.

3)

Исходное уравнение: $log_2 log_2 log_2 x = 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент каждого логарифма должен быть положителен:

1. $x > 0$

2. $log_2 x > 0$, что равносильно $x > 2^0$, то есть $x > 1$.

3. $log_2(log_2 x) > 0$, что равносильно $log_2 x > 2^0=1$, а это в свою очередь равносильно $x > 2^1=2$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов, используя определение $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

$log_2(log_2 log_2 x) = 0 \implies log_2 log_2 x = 2^0 = 1$

$log_2 log_2 x = 1 \implies log_2 x = 2^1 = 2$

$log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 2$).

Ответ: $4$.

4)

Исходное уравнение: $10^{x + lg 2} = 20$.

ОДЗ для переменной $x$ — все действительные числа, так как показатель степени может быть любым числом.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^x \cdot 10^{lg 2} = 20$

По основному логарифмическому тождеству $a^{log_a b} = b$, имеем $10^{lg 2} = 2$.

Подставляем это в уравнение:

$10^x \cdot 2 = 20$

Делим обе части на 2:

$10^x = 10$

$10^x = 10^1$

Следовательно, $x = 1$.

Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.