Номер 24.4, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24.4. Найдите наибольший целый корень уравнения:

1) $lg(x^2 - x) = 1 - lg5$;

2) $\log_6(x^2 - 2x) = 1 - \log_6 2$;

3) $2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0$;

4) $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

1) Исходное уравнение: $lg(x^2 - x) = 1 - lg(5)$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 - x > 0$, что равносильно $x(x - 1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty)$.

Преобразуем правую часть уравнения. Зная, что десятичный логарифм `lg` имеет основание 10, и $1 = lg(10)$, получаем: $1 - lg(5) = lg(10) - lg(5)$.

Используя свойство разности логарифмов $log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$, имеем: $lg(10) - lg(5) = lg(\frac{10}{5}) = lg(2)$.

Теперь уравнение принимает вид: $lg(x^2 - x) = lg(2)$.

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы: $x^2 - x = 2$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - x - 2 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ: Для $x_1 = 2$: $2 \in (1; \infty)$, корень подходит. Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty; 0)$, корень подходит.

Оба корня являются целыми числами: 2 и -1. Наибольший из них - это 2.

Ответ: 2

2) Исходное уравнение: $log_6(x^2 - 2x) = 1 - log_6(2)$.

ОДЗ: $x^2 - 2x > 0$, или $x(x - 2) > 0$. Решением является $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

Представим 1 в виде логарифма по основанию 6: $1 = log_6(6)$. Тогда правая часть уравнения преобразуется: $1 - log_6(2) = log_6(6) - log_6(2) = log_6(\frac{6}{2}) = log_6(3)$.

Уравнение принимает вид: $log_6(x^2 - 2x) = log_6(3)$.

Приравниваем аргументы логарифмов: $x^2 - 2x = 3$.

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ: Для $x_1 = 3$: $3 \in (2; \infty)$, корень подходит. Для $x_2 = -1$: $-1 \in (-\infty; 0)$, корень подходит.

Оба корня являются целыми числами: 3 и -1. Наибольший из них - 3.

Ответ: 3

3) Исходное уравнение: $2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $\log_3 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение примет вид: $2t^2 - 7t + 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.

Найдем корни для $t$: $t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $\log_3 x = t_1 = \frac{1}{2}$, то $x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$. Это число не является целым.

2. Если $\log_3 x = t_2 = 3$, то $x = 3^3 = 27$. Это целое число.

Оба найденных значения для $x$ ($\sqrt{3}$ и 27) положительны, поэтому удовлетворяют ОДЗ.

В уравнении есть только один целый корень, 27, который, следовательно, и является наибольшим целым корнем.

Ответ: 27

4) Исходное уравнение: $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \log_3 x$. Уравнение преобразуется в квадратное: $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $\log_3 x = t_1 = 1$, то $x = 3^1 = 3$.

2. Если $\log_3 x = t_2 = 2$, то $x = 3^2 = 9$.

Оба корня, 3 и 9, положительны и удовлетворяют ОДЗ. Оба корня являются целыми числами.

Среди корней 3 и 9 наибольшим является 9.

Ответ: 9