Вопросы, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Какое свойство логарифмической функции необходимо учитывать при решении логарифмических уравнений?

2. Определите наиболее удобный способ решения уравнений $\log_a x = b$ и $\log_x a = b$.

1. При решении логарифмических уравнений ключевым свойством, которое необходимо учитывать, является область определения логарифмической функции (сокращенно ОДЗ — Область Допустимых Значений).

Логарифм $\log_a b$ определен и имеет смысл только при выполнении трех условий одновременно:

1. Основание логарифма должно быть положительным: $a > 0$.

2. Основание логарифма не должно равняться единице: $a \neq 1$.

3. Аргумент логарифма (подлогарифмическое выражение) должен быть строго положительным: $b > 0$.

Когда в логарифмическом уравнении переменная $x$ находится в основании или под знаком логарифма, необходимо всегда учитывать эти ограничения. Это делается одним из двух способов:

• Сначала находится ОДЗ, то есть решается система неравенств, вытекающая из вышеуказанных условий. Затем, после нахождения корней уравнения, отбираются только те, которые принадлежат ОДЗ.
• Решается уравнение без предварительного нахождения ОДЗ, а затем выполняется проверка найденных корней путем подстановки их в исходное уравнение, чтобы убедиться, что все логарифмы в нем определены.

Несоблюдение этого свойства часто приводит к появлению посторонних корней.

Также важным свойством является монотонность логарифмической функции, которая гарантирует, что из равенства $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ следует равенство $f(x) = g(x)$ (в пределах ОДЗ).

Ответ: Главное свойство, которое необходимо учитывать — это область определения логарифмической функции (ОДЗ): основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение — строго больше нуля.

2. Наиболее удобным и прямым способом решения для обоих типов уравнений является использование определения логарифма.

Для уравнения вида $\log_a x = b$:

Согласно определению, логарифмом числа $x$ по основанию $a$ называется показатель степени $b$, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $x$. Формально это записывается так: $\log_a x = b \Leftrightarrow x = a^b$.

Таким образом, решение мгновенно находится возведением известного основания $a$ в известную степень $b$. При этом предполагается, что на число $a$ уже наложены ограничения $a > 0$ и $a \neq 1$.

Для уравнения вида $\log_x a = b$:

В этом случае неизвестная $x$ находится в основании. Мы снова применяем определение логарифма: $\log_x a = b \Leftrightarrow x^b = a$.

Чтобы выразить $x$, необходимо возвести обе части уравнения в степень $\frac{1}{b}$: $(x^b)^{\frac{1}{b}} = a^{\frac{1}{b}}$, что дает $x = a^{\frac{1}{b}}$ (или $x = \sqrt[b]{a}$).

Здесь крайне важно после нахождения значения $x$ выполнить проверку, так как основание логарифма должно удовлетворять условиям ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$. Найденный корень должен быть проверен на соответствие этим двум условиям.

Ответ: Наиболее удобный способ для обоих уравнений — это решение по определению логарифма. Для уравнения $\log_a x = b$ решением является $x = a^b$. Для уравнения $\log_x a = b$ решение находится из соотношения $x^b = a$ с последующей обязательной проверкой найденного корня на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.