Номер 23.14, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.14. 1) $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500;$

2) $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0;$

3) $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x} + 1;$

4) $(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^x + (\sqrt{3} + 2\sqrt{2})^x = 6;$

5) $(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^x = 14;$

6) $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^x + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^x = 2.$

1) Исходное уравнение: $5^x \cdot \sqrt[3]{8^{x-1}} = 500$.

Преобразуем второй множитель, зная, что $8 = 2^3$:

$\sqrt[3]{8^{x-1}} = \sqrt[3]{(2^3)^{x-1}} = \sqrt[3]{2^{3(x-1)}} = 2^{x-1}$.

Уравнение принимает вид: $5^x \cdot 2^{x-1} = 500$.

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2^1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.

Подставим в уравнение:

$5^x \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x = 500$.

Сгруппируем степени с одинаковым показателем, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:

$\frac{1}{2} \cdot (5 \cdot 2)^x = 500$

$\frac{1}{2} \cdot 10^x = 500$.

Умножим обе части на 2:

$10^x = 1000$.

Так как $1000 = 10^3$, получаем:

$10^x = 10^3$.

Отсюда следует, что $x=3$.

Ответ: $3$.

2) Исходное уравнение: $x^2 + 4x + 2^{\sqrt{x+2}} + 3 = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.

Перегруппируем слагаемые в уравнении:

$(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} = 0$.

Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно на ОДЗ.

Первая часть – квадратичная функция $f(x) = x^2 + 4x + 3$. Это парабола с ветвями вверх. Ее минимум находится в вершине $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$. Минимальное значение функции $f(x)$ равно $f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. На ОДЗ ($x \ge -2$) функция $f(x)$ не убывает, поэтому $f(x) \ge -1$.

Вторая часть – показательная функция $g(x) = 2^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $g(x) = 2^{\sqrt{x+2}} \ge 2^0 = 1$.

Сумма левой части уравнения $(x^2 + 4x + 3) + 2^{\sqrt{x+2}} \ge -1 + 1 = 0$.

Равенство нулю возможно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно достигают своих минимальных значений. Это происходит при $x=-2$.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения:

$(-2)^2 + 4(-2) + 2^{\sqrt{-2+2}} + 3 = 4 - 8 + 2^{\sqrt{0}} + 3 = -4 + 2^0 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0$.

$0=0$. Равенство верное. Таким образом, $x=-2$ является единственным решением.

Ответ: $-2$.

3) Исходное уравнение: $\sqrt{4^{2x} - 3 \cdot 2^{2x}} = 10 - 2^{2x+1}$.

Преобразуем степени: $4^{2x} = (2^2)^{2x} = 2^{4x} = (2^{2x})^2$ и $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{2x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Уравнение принимает вид: $\sqrt{y^2 - 3y} = 10 - 2y$.

Это иррациональное уравнение, которое равносильно системе:

$\begin{cases} 10 - 2y \ge 0 \\ y^2 - 3y = (10 - 2y)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства: $10 \ge 2y \implies y \le 5$. Также, из-за наличия $y^2-3y$ под корнем, должно выполняться $y^2 - 3y \ge 0 \implies y(y-3) \ge 0$. Учитывая $y>0$, получаем $y \ge 3$. Итак, ОДЗ для $y$: $3 \le y \le 5$.

Решим второе уравнение системы:

$y^2 - 3y = 100 - 40y + 4y^2$

$3y^2 - 37y + 100 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2$.

Корни: $y_1 = \frac{37 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $3 \le 4 \le 5$.

$y_2 = \frac{37 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$. Этот корень $8\frac{1}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ ($y \le 5$), поэтому является посторонним.

Единственное решение для $y$ – это $y=4$.

Сделаем обратную замену: $2^{2x} = 4 \implies 2^{2x} = 2^2 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.

4) Исходное уравнение: $(\sqrt{3 - 2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3 + 2\sqrt{2}})^x = 6$.

Упростим выражения под корнями, используя формулу квадрата разности и суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$3 - 2\sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 - 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

$3 + 2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.

Тогда $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$).

И $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

Уравнение принимает вид: $(\sqrt{2}-1)^x + (\sqrt{2}+1)^x = 6$.

Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами: $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$. Следовательно, $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену: пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Так как $\sqrt{2}+1 > 0$, то $t > 0$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение для $t$: $\frac{1}{t} + t = 6 \implies t^2 - 6t + 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение. $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$, $\sqrt{D} = 4\sqrt{2}$.

Корни: $t = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$. Оба корня положительны.

Рассмотрим оба случая:

1. $t = 3 + 2\sqrt{2} \implies (\sqrt{2}+1)^x = 3 + 2\sqrt{2}$. Так как $3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2$, откуда $x=2$.

2. $t = 3 - 2\sqrt{2} \implies (\sqrt{2}+1)^x = 3 - 2\sqrt{2}$. Так как $3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}+1})^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $-2; 2$.

5) Исходное уравнение: $(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x - (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14$.

Упростим выражения под корнями:

$7+4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^2$.

$7-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2-\sqrt{3})^2$.

Тогда $\sqrt{7+4\sqrt{3}} = 2+\sqrt{3}$ и $\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$ (т.к. $2 > \sqrt{3}$).

Уравнение принимает вид: $(2+\sqrt{3})^x - (2-\sqrt{3})^x = 14$.

Основания $(2+\sqrt{3})$ и $(2-\sqrt{3})$ являются взаимно обратными. Сделаем замену: пусть $t = (2+\sqrt{3})^x$, где $t>0$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = \frac{1}{t}$.

Уравнение для $t$: $t - \frac{1}{t} = 14 \implies t^2 - 14t - 1 = 0$.

Решим квадратное уравнение. $D = (-14)^2 - 4(1)(-1) = 196 + 4 = 200$, $\sqrt{D} = 10\sqrt{2}$.

Корни: $t = \frac{14 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 7 \pm 5\sqrt{2}$.

Так как $t>0$, а $7-5\sqrt{2} = \sqrt{49}-\sqrt{50} < 0$, подходит только корень $t = 7 + 5\sqrt{2}$.

Обратная замена: $(2+\sqrt{3})^x = 7+5\sqrt{2}$.

Данное уравнение не имеет простого целочисленного или рационального решения. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы в исходном уравнении вместо знака "минус" стоял "плюс", задача имела бы "красивое" решение.

$(\sqrt{7+4\sqrt{3}})^x + (\sqrt{7-4\sqrt{3}})^x = 14 \implies (2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 14$.

Замена $t = (2+\sqrt{3})^x$ приводит к $t + \frac{1}{t} = 14 \implies t^2 - 14t + 1 = 0$.

$D = 14^2 - 4 = 192 = 64 \cdot 3$, $\sqrt{D}=8\sqrt{3}$.

$t = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.

1. $(2+\sqrt{3})^x = 7+4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2 \implies x=2$.

2. $(2+\sqrt{3})^x = 7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 = (2+\sqrt{3})^{-2} \implies x=-2$.

Ответ: Если условие без опечаток, то $x = \log_{2+\sqrt{3}}(7+5\sqrt{2})$. Если в условии вместо минуса должен быть плюс, то $x = \pm 2$.

6) Исходное уравнение: $(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x = 2$.

Упростим выражения под корнями с помощью формулы $\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}$.

Для $\sqrt{2+\sqrt{3}}$: $A=2, B=3$. $\sqrt{A^2-B} = \sqrt{2^2-3} = \sqrt{1} = 1$.

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$.

Для $\sqrt{2-\sqrt{3}}$: $\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})^x + (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x = 2$.

Заметим, что основания являются взаимно обратными: $(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}) \cdot (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}) = \frac{(\sqrt{3})^2-1^2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{3-1}{2} = 1$.

Сделаем замену: пусть $t = (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x$. Тогда $t>0$ и уравнение принимает вид $\frac{1}{t} + t = 2$.

Умножим на $t$: $1+t^2=2t \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2=0$.

Отсюда $t=1$.

Выполняем обратную замену: $(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^x = 1$.

Так как основание степени $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \neq 1$, равенство возможно только если показатель степени равен нулю. $x=0$.

Ответ: $0$.