Номер 23.9, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

23.9. 1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0;$

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{x+2} + x = 0;$

3) $x^2 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0;$

4) $x^2 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0.$

1) $x^2 \cdot 3^x - 3^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 3^x - 3^x \cdot 3^1 = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как показательная функция $3^x > 0$ при любом значении $x$, то равенство возможно только если второй множитель равен нулю:

$x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm\sqrt{3}$.

2) $x^2 \cdot 5^x - 5^{2+x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^2 \cdot 5^x - 5^2 \cdot 5^x = 0$

$x^2 \cdot 5^x - 25 \cdot 5^x = 0$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x (x^2 - 25) = 0$

Так как $5^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^2 - 25 = 0$

$x^2 = 25$

$x = \pm 5$

Ответ: $x = \pm 5$.

3) $x^3 \cdot 3^x + 3^{x+3} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 3^x + 3^x \cdot 3^3 = 0$

$x^3 \cdot 3^x + 27 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (x^3 + 27) = 0$

Так как $3^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^3 + 27 = 0$

$x^3 = -27$

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: $x = -3$.

4) $x^3 \cdot 8^x - 8^{x+1} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$x^3 \cdot 8^x - 8^x \cdot 8^1 = 0$

Вынесем общий множитель $8^x$ за скобки:

$8^x (x^3 - 8) = 0$

Так как $8^x > 0$ для всех $x$, приравниваем второй множитель к нулю:

$x^3 - 8 = 0$

$x^3 = 8$

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$.